● マチンのπ展開式について

π/4 = atan(1) ですが、このままでは収束が遅いので工夫します。

任意の atan(1/n) を 2 項に分解します。
　atan(1/n) = atan(1/p) + atan(1/q)

両辺の tan() をとり、tan の加法定理を使います。
　tan(atan(1/n)) = tan( atan(1/p) + atan(1/q) )

　tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α・tan β)　　これが tan 加法定理。
 　α = atan(1/p), β = atan(1/q) 　　　　　　　　　　　 　と置くと、

　1/n = { tan(atan(1/p)) + tan(atan(1/q)) } / { 1 - tan(atan(1/p))・tan(atan(1/q) }
　1/n = ( 1/p + 1/q ) / ( 1 - 1/pq )

　n = { (pq - 1)/pq } / { (p + q)/pq }
 　 = (pq - 1) / (p + q)

q を n, p について解くと、
　n(p + q) = pq - 1
　np + nq - pq = -1
　q(n - p) = -np - 1
　q = (np + 1) / (p - n)

p - n = 1 の場合について計算してみると、
　n = 1, p = 2　→　q = 3  : atan(1/1) = atan(1/2) + atan(1/3)
　n = 2, p = 3　→　q = 7  : atan(1/2) = atan(1/3) + atan(1/7)
  n = 3, p = 4　→　q = 13 : atan(1/3) = atan(1/4) + atan(1/13)
　n = 4, p = 5　→　q = 21 : atan(1/4) = atan(1/5) + atan(1/21)


● π/4 = 4 * atan(1/5) - atan(1/239)、これの導出はかなりの手順が必要
なので、ずぼらに算数で検算してみます。 手順は、
　2 * atan(1/5) = atan(5/12) でしょうか？
　4 * atan(1/5) = 2 * atan(5/12) = atan(120/119) でしょうか？
　atan(1) = atan(120/119) - atan(1/239) でしょうか？
　それなら、4 * atan(1/5) - atan(1/239) = atan(1) ですよね？

という流れです。
前項で調べた n, p, q の関係を利用します。

(1) 2 * atan(1/5) = atan(5/12)
　p = q = 5 のとき、n = (pq - 1) / (p + q) ですから、
　n = 12 / 5 です。
　つまり atan(1/5) + atan(1/5) = atan(5/12)。
　(注： 一時 atan(12/5) と間違えていました。)

(2) 4 * atan(1/5) = 2 * atan(5/12) = atan(120/119)
　p = q = 12 / 5 のとき、n = (pq - 1) / (p + q) ですから、
　n = 119 / 120 です。
　つまり atan(5/12) + atan(5/12) = atan(120/119) = 4 * atan(1/5)。

(3) atan(1) = atan(120/119) - atan(1/239)
　n = 1, p = 119/120 のとき q = (np + 1) / (p - n) ですから、
  q = (119/120 + 1) / (119/120 - 1)
  　= { (119 + 120)/120 } / (-1/120)  
  　= 239 / (-1) = -239
　つまり、4 * atan(1/5) - atan(1/239) = atan(1)　(atan は奇関数です)

　泥臭い検算ですみません。 πの atan 展開式は、多数知られています。
"π 展開 式" といったキーワードで Web 検索すると、かなりヒットします。 
もっと一般的でスマートな解説が見つかるでしょう。