● まずは atan() の微分です。 こんな説明がありました。

 ・ y = tan-1 x

  d(tan-1 x)     dy        1          1           1           1            1
  ――――― = ――― = ――― = ――――― = ―――― = ―――――― = ――――
      dx         dx       dx      d(tan y)     sec2 y     1 + tan2 y     1 + x2
                         ――    ―――――
                          dy        dy

 ・ tan の逆関数 f(x) = atan(x) とすると x = tan(f(x))。
　　逆関数の微分係数は元の関数の微分係数の逆数。

  d f(x) / dx = ( dx / d f(x) )-1
    = 1 / ( tan'(f(x)) )
    = 1 / ( 1 / cos2(f(x)) )
    = 1 / ( (cos2(f(x)) + sin2(f(x)) ) / cos2(f(x)) )
    = 1 / ( 1 + tan2(f(x)) )
    = 1 / (1 + x2)

● 1 / (1 + x2) は等比数列の公式に似ています。
　∞
　Σ ak = 1 + a + a2 + a3 + a4 +　・・・ (*1)
　k=0

両辺に a を乗じます。
　　　 ∞
　a * Σ ak = a + a2 + a3 + a4 + a5 +　・・・ (*2)
　　　 k=0

第一の式から直前の式を辺々引くと (*1) - (*2)、
　　　　　　　∞
　(1 - a) * Σ ak = 1
　　　　　　　k=0
　∞
　Σ ak= 1 / (1 - a)
　k=0

　a を -x2 に置きかえると、1 / (1 + x2) の形になります。

　Σ(-x2)k= 1 / (1 + x2)

　d atan(x) / dx = Σ(-x2)k = 1 - x2 + x4 - x6 + x8 - ・・・

積分すると、

　atan(x) = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + x9/9 - x11/11 + ・・・ + C

 　= Σ(-1)k * x(2*k+1)/ (2*k+1) + C

atan(0) = 0 だから、C = 0

x = 1/n と置く。
　atan(1/n) = 1/n - 1/(3*n3) + 1/(5*n5) - 1/(7*n7) + ・・・
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