頻度概念確率

(平成22年1月30日)

 ラプラスの確率は事象が観念的な連続的な状態にまで安易に使われて多くのパラドックスを生んでしまいました。ラプラスの確率定義にあった「等しく起こり易い」条件も非難の対象にされました。

 そこで、フォン・ミーゼスは相対頻度の極限値を確率の定義にしました。これは次のようなものです。

 n回の試行を行ったとき、そのうち好ましい結果がr回あったとき、nを無限大にまで大きくしたときの相対頻度r/nを確率とする

 この確率定義は、判りやすかったこともあって、当時の生物学者達に好まれ、またたく間にラプラスの確率を古典確率に追いやってしまったのです。そして未だに、正統派確率統計学を標榜する人たちの考え方の基礎になっています。ベイズ流統計学により、宗旨変更を遂げた人もいますが、それでも捨てきれない人たちが多いのです。

 この定義ではどこが駄目なのでしょうか。論理的に考えれば実世界は何を取っても有限ですから、無理な定義であることは判ります。しかし、人間は時に論理的でないほうを好む動物だということでしょうか。それでは進歩はありません。

 まず、実世界では無限の繰り返すことは出来ません。有限の操作ができるに過ぎません。

 次に、1回しか起こらないことに対しては無力です。フォン・ミーゼス自身が、1回しか起こらないことには使えないと言っています。実際は、常に1回の事象の確かさが問題となるのです。

 確率は無限の操作の結果なのですから実行不可能です。つまり眞の値は永久に判らないのです。したがって、この確率定義を採用する人達は、データを見て確率を推定するという立場を取ります。そして、推定には常に誤差が付きまといますから、この推定の誤りを「信頼水準」という新たな用語を付加して表現することで、正しい扱いをしたポーズを取ります。

 「真の確率は判らないから、信頼水準をおいて、この確率を推定する」ということは論理的に誤っていません。ただ、この方式では信頼水準の置き方で、結論を逆転できてしまうという矛盾を孕んでいるのです。

 原宣一はこの矛盾を指摘しています。
http://www7b.biglobe.ne.jp/~pasadena/shinraidoimi.htm

 フォン・ミーゼスの定義では極限値が収束することが何も保証されていないとの批判は昔からありました。

 それでは、コルモゴロフの公理を満たしているのでしょうか。
 (1)P(A)は非負の実数である。 ・・・ 極限値が収束するかどうか判らないのですが、0と1の間の実数であるとは言えそうです。
 (2)確実に起こる事象Aの確率P(A)は1である。 ・・・ これは良いでしょう。
 (3)事象Aと事象Bが相互背反ならば、AかBが起こる確率P(A+B)はP(A)+P(B)に等しい。・・・ これは必ずしも成立しません。
 
 つまり、頻度概念の確率定義はコルモゴロフの公理を満たすものであるとは言えないのです。従って、数学の確率理論における諸定理が頻度概念確率では成立するかどうか不明であることになります。    → <詳細

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