一筆書きの秘密

　あなたは〈一筆書き(ひとふでがき)〉というのを知っていますか。知っている人は，知らない人にくわしく教えてあげましょう。また，書ける人は下に一筆書きで図を書いてみましょう。

【問題１】

　一度，書き始めたらペン先を紙から離さずに最後まで書く図形を一筆書きといいます。ただし，一度とおった線とは交わってもよいが，同じ線を二度となぞってはいけません。

　次の図形は一筆書きで書けると思いますか。書けるか書けないか見当をつけてから，一筆書きを書いてみましょう。

　（書くときは，書き始めと書き終わりの点に・印をつけて書き方が分かりやすいようにしておきましょう）

【言葉の約束：奇数点と偶数点】

　一筆書きの図形の頂点（ちょうてん）や線の交点に目をつけてください。すると,一つの点から出ている線が奇数個の場合と偶数個の場合があることがわかります。奇数個の線が出ている点を奇数点，偶数個の線が出ている点を偶数点とよぶことにします。

　（２の倍数である整数…，０，２，４，６…を偶数，２の倍数でない整数…，１，３，５，７…を奇数という）

　【問題１】の図形の奇数点と偶数点の数を数えてみましょう。○印の点に目をつけて数えよう。

	ア	イ	ウ	エ	オ	カ
奇数点の数
偶数点の数
一筆書きは

【質問２】

　図形には，一筆書きで書けるものと，どんなに工夫しても書けないものがあります。

　では，一筆書きで書けるか書けないか，書く前に図形を見分けるうまい方法はないでしょうか。すこし考えてみてください。もし，いい考えを思いついた人がいたら，みんなに説明してあげてください。

【お話：ケーニヒスベルクの七つの橋（前編）】

　ある日，理香さんは図書室で，次のようなお話をみつけてきました。

　今から270年ほど前のリトアニアにケーニヒスベルクという大きな町がありました。現在，この町はロシアの領土になっていますが，つぎの話はまだケーニヒスベルクがリトアニアのものだった時代の話である。

　この町の真ん中には，今でもプレゴリヤ川という大きな川が流れているが，この川には七つの橋がかけられていた。が，あるとき，この町の人がこんなことをいいだした。

「この川にかかっている七つの橋をぜんぶわたって，もとのところに帰ってくることができるか。ただし，どこから出発してもよいが，同じ橋を２度わたってはいけない。」

「これはおもしろい。これがわかれば，この町にはじめてきた人を案内するのに，とてもつごうがよいじゃないか。」

というので，この問題はたちまちひょうばんになって，たくさんの人が考え始めた。

　ところが，どうしたことか，これがなかなかむずかしい。だれがやってもできないのだ。そうなるとまた，この問題はますます有名になって，しんけんにこの問題を考える人たちが出てきた。

【問題２】

　ここで，あなたもこの問題を考えてみてください。七つの橋を２度とおらずにすべて通ることができると思いますか。

ア．すべて通ることができる。　　イ．そんなことはできない。

【お話：ケーニヒスベルクの七つの橋（後編）】

　ところが，そこにたまたま，オイラーという有名な数学者がやってきた。

　そこである人がオイラーにこのことを話すと，かれはあっけなく答えを出してしまった。

「そんなことは，どんなに頭をしぼってもできっこない。」

「いや，これはだれがやったってできっこないのですよ。」

といいくわえた。つまり，この問題は，もともと答えのない問題だというのだ。そしてオイラーはそのわけをこう説明した。

「まず，地図をかんたんにして通る道すじだけをかんたんに書いてみましょう。すると，こんな図が書けます。

印をつけたところが橋です。問題はこれだけの道を同じところを二度通らずにぜんぶ歩けというわけですね。ところが，この図は，つづけざまに一本の線でつないで書くことができないのです。」

　オイラーは，一言こういったあと，まだみんながうたがいぶかそうな顔をしているので，もっとくわしく説明をした。しかし，オイラーがどういう説明をしたか，くわしいことはわからない。

（板倉聖宣「一筆書きの数学」『数と図形の発明発見物語』国土社より）

「へー，できないってことを証明したのか。それにしても，いったいどんな説明をしたのだろう。」

「これって，つまり〈一筆書きでは，どんな図形が書けてどんな図形が書けないか〉ということよね。わたしも考えたのだけど，どうしてもこの図だと一筆書きで書けないわ。でも，なぜなのかわからないの。みんなも考えてみてよ。」

　工作君は，紙を持ち出していろんな一筆書きの図を書きながらぶつぶついいだしました。

「日の字形はかんたんに一筆書きが書けるのだけどなあ。」

「でも，線を一つ加えただけの目の字形は，ぜったいに書けないや。この二つのちがいってなんだろう？」

【質問３】

　ここで，みなさんも，もう一度どんな場合に一筆書きができたりできなかったりするか，考えてみましょう。

【お話：一筆書きの数学】

　みんなの話をだまって聞きながら，いろんな一筆書きをためしていた恵美子さんがこんなことを思いつきました。

「ねぇ，なんだか分かったような気がするわ。奇数点の個数と偶数点の個数を比べてみるのよ。奇数点の個数が０とか２のときはできるけど，４個になるととたんに書けなくなるでしょ。でも，偶数点は同じ個数でも奇数点しだいで書けたり書けなかったりするじゃない。」

	ア	イ	ウ	エ	オ	カ
奇数点の数	２	４	０	２	４	２
偶数点の数	０	０	４	４	４	６
一筆書きは	○	×	○	○	×	○

秀夫君が｢あっ｣という小さな声を出してうなずきました。

「なるほど，書けるか書けないかは奇数点しだいっていうことか。」

「奇数点が０個か２個だと一筆書きができるけど，それより多いと書けない，というのね。」

　そのとき，理恵さんが自分にたずねるようにいいました。

「でも，不思議ね。なぜ，そんなことになるんでしょう。本当にどんな図形でも，そんなことがいえるのかしら。」

「それは，まず，一の字形を一筆書きすると考えたらどうだろう。書き始めと書き終わりは奇数点になって奇数点は２個になるね。書き始めと書き終わりは奇数点であっても一筆書きできるんだ。そして，奇数点が２個だとそのどちらかから必ず書き始めなくちゃならないんだ。つまり，奇数点があったら，それは書き始めか書き終わりでなくてはならないんだよ。

　つぎに，Ｔの字形を一筆書きしようとすると奇数点が４個になって書けなくなるね。一筆書きの書き始めと書き終わりは合わせて二つしかないから，奇数点が２個より多いと書けっこないんだ。

　それに，とちゅうで通る点というのは，入ってくる線と出ていく線がいるから偶数個の線が出ている偶数点でなければならない。Ｔの字形は真ん中が奇数点だからよけいに書けないよ。」

「そうか，口の字形だと奇数点が０個で偶数点が４個。それで，偶数点ばかりだったら，どこからでも書けるというわけか。しかも,書き始めの出発点に必ずもどってくるね。」

　話がどんどん進むので理香さんがあわててまとめました。

① 奇数点が０個か２個のときだけ，一筆書きで図形が書ける。

② 奇数点が２個あったら，その一つから書き始めなければいけない。

　日の字形は，奇数点が２個だから，奇数点を出発点にすれば書けるわけね。目の字形は，奇数点が４個あるから書けないのだ。」

「それじゃ，あのケーニヒスベルクの橋の奇数点を数えてみよう。えーと，３本の線が出ているところが４ヵ所だから，奇数点が４個もあるじゃないか。これじゃあ，いくら考えても一筆書きができないはずだね。」

　秀夫君は，なぞがとけたのでとてもうれしそうにいいました。

「おもしろいわね。算数や数学の問題ってとける問題ばかりかと思ったら，できないっていうのを証明するのも算数･数学なのね。」

【問題３】

　次の図形は一筆書きで書けるでしょうか。書けるかどうか予想をしてから，実際にためしてみましょう。

【研究問題】

　「できそうでできない」または「できなさそうでできる」というような一筆書きの問題を作って友だちとときあいっこしてみましょう。

一筆書きの法則

【質問１】