関数を用いて過去のＣＤの売り上げデータから傾向を分析し、今後のＣＤの売り上げを予測
する活動から、数学と日常生活との関連性と数学の有用性を感じることが、この教材
のねらいである。
次の表は2003年４月以降の森山直太朗の「さくら（独唱）」という曲のＣＤの売り上げ枚数の推移
を表したものである。
| 週数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 売上（万枚） | 2.4 | 5.1 | 7.5 | 9.4 | 10.8 | 9.9 | 7.8 |
これをグラフにかくと図１のようになる。このグラフ
はどんな関数に近似するかを求める。
売り上げ枚数の差を計算してみると、
5.1－2.4＝2.7 ⇒ 7.5－5.1＝2.4
⇒ 9.4－7.5＝1.9 ⇒ 10.8－9.4＝1.4
となり、傾きがだんだん緩やかになっていて、頂点があることから、２次関数に近似できると予測できる。
そこで図１のグラフを、２次関数に近似して、最小２乗法で回帰曲線を求めてみると、
ｙ＝－(1/2)ｘ2＋5ｘ－(5/2)のグラフに近似できる。これを平方完成すると、
ｙ＝－(1/2)(ｘ－5)2＋10となり、図２のようになる。
この式を利用して、この曲の８週目の売り上げを
予測する。計算によると、
ｙ＝－(1/2)(8－5)2＋10＝5.5となり、
実際の売り上げは、5.4万枚だったため、
かなり近い予測ができたといえる。
ただし、この２次関数はｘ＝10のときにｙの値が負に
なるため、局所的な近似になる。
ＣＤの売り上げが分析できると、来週の売上げの予測や、次に同じような曲を出すときの
売り上げの推移が予測でき、ＣＤを何枚作って何枚出荷すればよいかなどの目安になる
と考えられる。
次の表は、2003年3月以降のＳＭＡＰの「世界で一つだけの花」という曲のＣＤの売り上げ枚数
の推移を表したものである。
| 週数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 売上（万枚） | 63.0 | 38.0 | 30.0 | 14.0 | 10.0 | 8.0 | 6.1 | 5.5 |
これをグラフにかくと図３のようになる。このグラフを
指数関数に近似して、最小２乗法で回帰曲線を求めて
みると、ｙ＝59.4×(0.61)x＋3.6のグラフに近似できる。
図１の曲のように、徐々に売り上げを伸ばすＣＤは
２次関数に近似できると分析できるが、
図２の曲のように、発売１週目から売れるＣＤは
指数関数に近似できると分析することもできる。