関数の極限や微分、極方程式を用いて台風を分析することで、数学Ⅲの内容を総合的に使っ
て身近な現象を分析することに興味をもち、単元の有用性を感じることが、この教材のねらい
である。数学Ａ「いろいろな等角らせん」や数学Ⅲ「渦巻と極方程式」の続きで扱ってもよい。
台風の風は等圧線に対して一定の角度を保ちながら吹き込む
といわれている。
ここで等圧線を円と仮定すると、図１のようなモデルとなる。
このとき台風の渦巻が等角らせんになることを証明する。
風が等圧線となす角をφとする。Δθ だけ微小回転したときの
半径の増分をΔr とすると、
∠OBA＝(π/2)＋φ 、∠OAB＝(π/2)－(Δθ＋φ)より、
図2の三角形OABについて正弦定理を使って、
(r＋Δr)/sin{(π/2)＋φ}＝r/sin{(π/2)－(Δθ＋φ)}
(r＋Δr)/cosφ＝r/cos(Δθ＋φ)
r＋Δr＝rcosφ/cos(Δθ＋φ)
Δr＝rcosφ/cos(Δθ＋φ)－r
＝ｒ×{cosφ－cos(Δθ＋φ)}/cos(Δθ＋φ)
lim(Δθ→0)(Δr/Δθ)＝r・lim(Δθ→0)(1/Δθ)×{cosφ－cos(Δθ＋φ)}/cos(Δθ＋φ)
＝r・lim(Δθ→0)(1/Δθ)・{2(sin(Δθ+2φ)/2)(sinΔθ/2)}/cos(Δθ＋φ)
＝r・lim((Δθ/2)→0){(sinΔθ/2)/(Δθ/2)}{sin((Δθ/2)+φ)/cos(Δθ＋φ)}
＝r・(sinφ/cosφ)＝rtanφ
よって、(dr/dθ)＝rtanφより、r＝ke(tanφ)θ（ｋは定数）となり、
台風の風は等角らせんに近似できることがわかる。
ここで、図3の台風の写真によると、
台風の雲を近似した渦巻の極方程式が、
r＝ke(-18/25π)θ となることから、
回転方向をそろえて比較してみると、
e(tanφ)θ＝e(-18/25π)θより、
tanφ＝18/25π≒0.23から、φ≒12.9°と、
この台風の吹き込む風の角度を求めることができる。
また、もし等圧線に吹き込む角度 φ が0°のときを考えたら、
r＝ke(tan0°)θ＝ke0＝k となり、
半径 k の円になるため、円状をぐるぐるまわる運動になってしまうことがわかる。