ある条件で積み木を積むことについて考察することで、極限の感覚を磨き、
無限級数の理解を深め、興味をもつことが、この教材のねらいである。
ずらして積み木を積むと、横にどこまでも遠くまで積んでいくことができるだろうか？
「木はどこまで伸びる」と比べて考えさせて予想させるとおもしろい。
積み方は、重心の下に積み木があればくずれないので、
積み木の幅を１とすると、図のように積むとよい。
一番上の積み木の左端の位置を ０ とすると、
上から２つ目の積み木の左端を一番上の積み木の重心
である (1/2) に置けばよいので、
積み木をずらす量は、(1/2)－０＝(1/2)
２つの積み木の重心の位置は (1/2)[(1/2)＋{(1/2)＋(1/2)｝]＝(3/4)
上から３つ目の積み木の左端は２つの積み木の重心である (3/4) に置けばよいので、
積み木をずらす量は、(3/4)－(1/2)＝(1/4)
３つの積み木の重心の位置は (1/3)[(3/4)×2＋{(3/4)＋(1/2)｝]＝(11/12)
上から４つ目の積み木の左端は３つの積み木の重心である (11/12) に置けばよいので、
積み木をずらす量は、(11/12)－(3/4)＝(1/6)
４つの積み木の重心の位置は (1/4)[(11/12)×3＋{(11/12)＋(1/2)｝]＝(25/24)
上から５つ目の積み木の左端は４つの積み木の重心である (25/24) に置けばよいので、
積み木をずらす量は、(25/24)－(11/12)＝(1/8)
よって、ｎつの積み木の重心の位置 ａn ＝(1/n)[ａn-1×(n-1)＋{ａn-1＋(1/2)｝]＝ａn-1＋(1/2n)
積み木をずらす量は、ａn －ａn-1＝(1/2n) となる。
ゆえに、上からｎつ積み木を積んだときにずらす量の合計は、
(1/2)＋(1/4)＋(1/6)＋(1/8)＋…＝(1/2)(k=1Σ∞)(1/ｋ) となる。
ここで、(k=1Σ∞)(1/ｋ)
＝1＋(1/2)＋｛(1/3)＋(1/4)｝＋｛(1/5)＋(1/6)＋(1/7)＋(1/8)｝＋…＋｛(1/(2n-1+1)) ＋(1/2n)｝
＞1＋(1/2)＋｛(1/4)＋(1/4)｝＋｛(1/8)＋(1/8)＋(1/8)＋(1/8)｝＋…＋｛(1/2n) ＋(1/2n)｝
＝1＋(n/2)より、lim(ｎ→∞){1＋(n/2)}＝∞ から
はさみうちの定理より、(k=1Σ∞)(1/ｋ)＝∞ となる。
よって、積み木をこのように積むと、横にどこまでも遠くまで積んでいくことができる。 ただし、高さはそれ以上に高くなるので、現実的には不可能である。