大相撲の巴戦の対戦順の有利不利について考察することで、無限等比級数に興味をもち、
理解を深め、単元の有用性を感じることが、この教材のねらいである。
大相撲本場所で３人が同じ勝敗で並んだとき、一番先に連勝した人が優勝となる巴戦を行う。
最初に対戦する２人を抽選で選ぶが、力が互角のとき先に対戦する２人Ａ,Ｂと最後の１人Ｃ
ではどちらが優勝する確率が高いだろうか。
Ａが優勝する場合は、「１試合目に勝った場合、２試合目に勝つか、
『２試合目にＣに負けた場合、3試合目にＢがＣに勝ち、4試合目に勝つ』の繰り返しがあって、
最後に勝つ」つまり、○(×－○)…(×－○)○のパターンか、
「『１試合にBに負けた場合、２試合目にＣがＢに勝ち、3試合目に勝つ』の繰り返しがあって、
最後に勝つ」つまり、(×－○)…(×－○)○のパターンなので、
Ａが優勝する確率は、
(1/2)×{1＋(1/8)＋(1/8)2＋(1/8)3＋…}×(1/2)＋{(1/8)＋(1/8)2＋(1/8)3＋…}×(1/2)
＝(1/4)lim(ｎ→∞)(8/7){1－(1/8)n}＋(1/2)lim(ｎ→∞)(1/7){1－(1/8)n}
＝(2/7)＋(1/14)＝(5/14)となる。Ｂが優勝する確率のも同様に(5/14)なので、
Ｃが優勝する確率は、１－(5/14)×2＝(2/7)となり、最初に対戦するＡとＢより低くなる。
よって、確率的には最初に対戦するＡとＢの方がよく、多少なりとも対戦順を決める
最初のくじ運も大事であることがわかる。
なお、対戦総試合数の期待値は、２試合で決着がつく確率が(1/2)、３試合で決着がつく確率が
(1/2)2、４試合で決着がつく確率が(1/2)3・・・なので、
Ｅ＝2×(1/2)＋3×(1/2)2＋4×(1/2)3＋5＋(1/2)4＋…}
＝lim(ｎ→∞)(k=1Σｎ){(k＋1)×(1/2)k}
ここで、 Ｓ＝(k=1Σｎ){(k＋1)×(1/2)k} を計算すると、
Ｓ＝2×(1/2)＋3×(1/2)2＋4×(1/2)3＋5×(1/2)4＋6×(1/2)5＋…＋(ｎ＋1)×(1/2)n
－）(1/2)Ｓ＝ 2×(1/2)2＋3×(1/2)3＋4×(1/2)4＋5×(1/2)5＋…＋ｎ×(1/2)n ＋(ｎ+1)×(1/2)n＋1
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(1/2)Ｓ＝１ ＋(1/2)2＋(1/2)3＋(1/2)4＋(1/2)5＋…＋(1/2)n －(ｎ+1)×(1/2)n＋1
Ｓ＝２ ＋(1/2)＋(1/2)2＋(1/2)3＋(1/2)4＋…＋(1/2)n－1 －(ｎ+1)×(1/2)n
ここで、lim(ｎ→∞){(n＋1)/2n}＝０ なので、
Ｅ＝lim(ｎ→∞)Ｓ＝２＋1－０＝３ となり、対戦総試合数の期待値は３試合である。
少し難しいが、(等差数列×等比数列)の和を求める練習になる。