フィボナッチ数列と黄金比

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無限等比数列

フィボナッチ数と黄金比の関係を分析することで、極限に興味をもち、理解を深めることが、

この教材のねらいである。数学Ｂにある「フィボナッチ数列の一般項とリュカ数」の続きで

行うとよい。

フィボナッチ数列は漸化式で表すと a_n+2＝a_n+1＋a_n（a₁＝a₂＝1）で、

{a_n}：{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…}である。

また、黄金比は1：(1＋√5)/2 である。

ここで、フィボナッチ数列の隣接する項の比のｎ→∞の極限が、以下のように黄金比になること

が知られている。

このことを証明してみよう。

α＝(1－√5)/2 ，β＝(1＋√5)/2 とおくと、黄金比は1：βで、

a_n＝(1/√5)(β_n－α_n)であるから、

a_n+1＝(1/√5)(β_n+1－α_n+1)、

ここで、(α/β)＝(1－√5)/(1＋√5)＝(√5－3)/2より、－1＜(α/β)＜0であることから、

lim_(ｎ→∞)(α/β)ⁿ＝0より、

lim_(ｎ→∞)(a_n+1/a_n)＝lim_(ｎ→∞){(β_n+1－α_n+1)/(β_n－α_n)}

　　　　　　　　　　　　　＝lim_(ｎ→∞){(β－(α/β)ⁿα)/(1－(α/β)ⁿ)}＝βとなる。