あるルールでドッジボールをするとき、誰が一番有利かを考察することで、確率と無限等比級数
について深く理解して興味をもち、単元の有用性を感じるのが、この教材のねらいである。
Ａ，Ｂ，Ｃの３人でドッジボールをする。まず抽選で最初に投げる人を決める。
投げる人は残っている人のどちらを狙ってもよいが、自分が勝つ確率の高い方を狙うとする。
当てられたら負けで、次に投げる人は他の一人に移る。
当てられなかった時は、次は今狙われた人が投げることができる。
Ａが投げたときは必ず当て(確率1)、Ｂが当てる確率は(4/5) ,Ｃが当てる確率は(1/2)である。
このとき、誰が一番最後まで残って勝つ確率が高いだろうか？
この問題は意外な結果になる。
①抽選でＡから投げ始める場合(確率1/3)、Ａは必ず当てることができるので、
次に当てる確率が高いＢを狙った方が得である。Ｂは必ず当てられ、その後ＣがＡに投げる
ので、Ｃが勝つ確率は、(1/3)×(1/2)＝(1/6)、
ＣがはずすとＡは必ず当てるので、Ａが勝つ確率も(1/6)
②抽選でＢから投げ始める場合(確率1/3)、最初にＡを狙わないと負けるため、Ａを狙う
ことになる。Ａに当たった場合は、ＢとＣの対戦になり、次にＣが投げるので、
Ｃが勝つ確率は、(1/5)×(1/2)＝(1/10)から、
{1+(1/10)+(1/10)2+(1/10)3+…}×(1/2)＝(5/9)となり、Ｂが勝つ確率は(4/9)、
Ａに当たらなかった場合は、次はＡが投げるため、①のパターンに進む。
よって、Ａが勝つ確率は、(1/3)×(1/5)×(1/2)＝(1/30)、
Ｂが勝つ確率は、(1/3)×(4/5)×(4/9)＝(16/135)、
Ｃが勝つ確率は、(1/3)×(4/5)×(5/9)＋(1/3)×(1/5)×(1/2)＝(49/270)、
③抽選でＣから投げ始める場合(確率1/3)、最初にＡを狙わないと負けるため、Ａを狙う
ことになる。Ａに当たった場合は、ＢとＣの対戦になり、次にＢが投げるので、
Ｂが勝つ確率は、(1/5)×(1/2)＝(1/10)から、
{1+(1/10)+(1/10)2+(1/10)3+…}×(4/5)＝(8/9)となり、Ｃが勝つ確率は(1/9)、
Ａに当たらなかった場合は、次はＡが投げるため、①のパターンに進む。
よって、Ａが勝つ確率は、(1/3)×(1/2)×(1/2)＝(1/12)、
Ｂが勝つ確率は、(1/3)×(1/2)×(8/9)＝(4/27)、
Ｃが勝つ確率は、(1/3)×(1/2)×(1/9)＋(1/3)×(1/3)×(1/2)＝(11/108)、
よって合計すると勝つ確率は、Ａが(1/6)＋(1/30)＋(1/12)＝(17/60) 、
Ｂが(16/135)＋(4/27)＝(16/60)＝(4/5) 、Ｃが(1/6)＋(49/270)＋(11/108)＝(27/60)＝(9/20)
となり、一番当てる確率が低いＣが一番勝つ確率が高いという結果がでる。
ルールを決めるときによく考えないと、逆転現象が起こる例である。