送電線やネックレスなど身近にみられる曲線を分析することで、いろいろな曲線に興味をもち、
その長さを計算することで、曲線の長さについての理解を深め、単元の有用性を感じることが、
この教材のねらいである。
一様な重さを持つ細長い線を2点を固定して垂らしたときに、自分の重みによって自然に
曲がってできる曲線を懸垂線という。送電線やネックレス、吊り橋などに見られる
この曲線は、ｙ＝(a/2)(e(x/a)＋e-(x/a)) で表すことができる。
例えば、ｙ＝(1/2)(ex＋e-x)の懸垂線の x＝－1 から x＝1 までの曲線の長さを求めてみよう。
曲線の長さ ｓ＝∫-11√(1＋(dy/dx)2)dx
ここで、(dy/dx)＝(1/2)(ex－e-x)より、
ｓ＝∫-11√(1＋(1/4)(ex－e-x)2)dx
＝∫-11√(1/4)(ex＋e-x)2dx
＝∫-11(1/2)(ex＋e-x)dx
＝∫01(ex＋e-x)dx
＝[ex－e-x ]01
＝e－(1/e) となる。
e－(1/e)≒2.35より、上記の式で表される懸垂線の長さは、
例えば ｘ 方向の長さが2ｍのとき、約2.35ｍになることがわかる。