送電線が描く曲線

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曲線の長さ

送電線やネックレスなど身近にみられる曲線を分析することで、いろいろな曲線に興味をもち、

その長さを計算することで、曲線の長さについての理解を深め、単元の有用性を感じることが、

この教材のねらいである。

一様な重さを持つ細長い線を2点を固定して垂らしたときに、自分の重みによって自然に

曲がってできる曲線を懸垂線という。送電線やネックレス、吊り橋などに見られる

この曲線は、y=(a/2)(e(x/a)+e-(x/a)) で表すことができる。

例えば、y=(1/2)(ex+e-x)の懸垂線の x=-1 から x=1 までの曲線の長さを求めてみよう。

曲線の長さ s=∫-11√(1+(dy/dx)2)dx

ここで、(dy/dx)=(1/2)(ex-e-x)より、

s=∫-11√(1+(1/4)(ex-e-x)2)dx

 =∫-11√(1/4)(ex+e-x)2dx

 =∫-11(1/2)(ex+e-x)dx

 =∫01(ex+e-x)dx

 =[ex-e-x ]01

 =e-(1/e) となる。

e-(1/e)≒2.35より、上記の式で表される懸垂線の長さは、

例えば x 方向の長さが2mのとき、約2.35mになることがわかる。