《重 回 帰 分 析》
●重回帰分析
重回帰分析は、「因果関係を分析するための統計処理」だと考えられている。
因果関係とは、原因と結果の間の関係を指します。
原因Ａが、結果Ｂに及ぼすと云う事を、次の様に表現するならば
Ａ --------------⇒ Ｂ
重回帰分析は、幾つかの原因が一つの結果に影響を与えると云う事から、その関係は下図
ｂ1
原因その1 Ｘ1 -------------→
ｂ2
原因その2 Ｘ2 -------------→
： 結果 Ｙ
：
： ｂｐ
原因そのｐ Ｘｐ ------------→
の通りとなります。
この図をパス図という。
さらに、それぞれの原因が結果に与える影響の大きさをｂ1、ｂ2、・・・・、ｂｐと係数（回帰係数）で表現され
ます。
Ｙ ＝ ｂ1Ｘ1＋ｂ2Ｘ2＋・・・・＋ｂｐＸｐ ＋ ｂ
ｘ1、ｘ2、・・・・、ｘｐ ： 実測値
Ｙ ： 予測値
ｂ1、ｂ2、・・・・、ｂｐ ： 偏回帰係数
ｂ ： 定数項（偏回帰定数）
上式を「重回帰式」と云います。
（なお、標準化されたデータを用いると、定数項は０となります。）
また、実測値ｙと予測値Ｙの差ｙ−Ｙを「残差」または「誤差」と云います。
重回帰分析では、
目的変量（＝従属変数）、説明変量（独立変数）と云う統計用語を用います。
つまり
目的変量 ・・・・ 結果を表す変量Ｙ
（変数） （変数）
説明変量 ・・・・ 原因を表す変量ｘ1、ｘ2、・・・・、ｘｐ
（変数） （変数）
また、重回帰式から求めた予測値Ｙが、実測値ｙとどの程度一致しているかどうかを調べるための実測値と予測値
の相関係数を重相関係数Ｒという。
重相関係数Ｒの平方Ｒ2を決定係数という。
決定係数Ｒ2は、１に近い程、データとの当てはまりが良いと云う事になる。
予測値の変動
決定係数Ｒ2 ＝ --------------------
実測値の変動
例１ Ｙを予測する変数として、ｘ1、ｘ2、ｘ3が与えられている。このデータからｘ1、ｘ2、ｘ3を説明変数、Ｙを目的変数
とする重回帰式っを求め、重回帰分析を重相関係数から調べなさい。
表
-------------------------------------------------------------
ａ@ Ｙ ｘ1 ｘ2 ｘ3
-------------------------------------------------------------
1 308.9 15.7 30 5.2
2 310.8 16.8 33.1 5
3 303.3 17.5 32.2 4.6
4 307.7 20 33 4.3
5 320.7 18 38.6 6
6 329.4 19.5 38.7 5.8
7 321 19.2 37.7 5.1
8 321.6 16.8 38.9 5.2
9 321.6 19.9 30.8 4.8
10 321 19.2 37.7 5.1
11 414.3 17 30.4 5.5
12 313.3 19.6 33.3 4.4
13 318.7 17 38 5.8
14 324.9 15.3 39.9 6.1
15 308.5 16.6 43.2 4.6
---------------------------------------------------------
平均値 322.4467 17.84667 35.54667 5.173333
ｍｙ ｍｘ1 ｍｘ2 ｍｘ3
----------------------------------------------------------
解
重回帰分析の手順
@目的変量及び各説明変量の平均値を求める。
A分析ツールを用いて、分散・共分散行列を求める。
「ツール」−「分析ツール」−「共分散」
分散・共分散行列
-----------------------------------------------
ｙ ｘ1 ｘ2 ｘ3
-----------------------------------------------
ｙ
ｘ1
ｘ2
ｘ3
-----------------------------------------------
B行（ｘ1〜ｘ3）と列（ｘ１〜ｘ3）の行列の逆行列を求める。
逆行列関数（＝minvarse( )を利用
逆行列
0.532246 0.010685 0.555692
0.010685 0.076419 -0.18405
0.555692 -0.18405 4.320427
C３行１列（ｙ、ｘ1〜ｘ3）の行列とBで求めた逆行列の積を求める。
エクセルの関数（＝mmult( )を利用
D偏回帰係数から、重回帰式の定数項を説明変量の各平均値を代入して求める。
ｂ1＝0.7993718
ｂ2＝-2.80807
ｂ3＝23.95633
ｂ＝ｍｙ−0.799718×ｍｘ1−（−2.80801）×ｍｘ2−23.95633×ｍｘ3
＝284.062
重回帰式
ｙ ＝ 0.799 ｘ1 ＋ （−2.808）ｘ2 ＋ 23.956 ｘ3 ＋ 284.062
E重回帰式を用いて、各説明変量を代入して、目的変量の予測値Ｙを算出する。
F目的変量の実測値ｙとEで求めた予測値との相関係数（＝重相関係数Ｒ）をエクセルの関数を使って求める。
＝ｃｏｒｒｅｌ（配列1、配列2）
Ｒ＝0.530566
G重相関係数Ｒを平方して、決定係数Ｒ2を求める。
Ｒ2＝0.2815
☆分析ツールを利用
「ツール」−「分析ツール」−「回帰分析」
概要 予測値Ｙ
===================================== ============--
回帰統計 336.9448
------------------------------------- 324.328
重相関Ｒ 0.530566 317.8322
重決定Ｒ2 0.2815 310.3973
補正 Ｒ2 0.085546 333.7995
標準誤差 25.28989 329.9265
観測数 15 324.2596
----------------------------------- 312.8328
328.4732
分散分析表 315.7252
============================================================================ 344.0476
自由度 変動 分散 観察された分散比 有意Ｆ 311.6308
---------------------------------------------------------------------------- 329.8937
回帰 3 2756.376 918.7919 1.436559 0.284903 330.3864
残差 11 7035.362 639.5783 286.2247
合計 14 9 791.737 ---------
--------------------------------------------------------------------------- - Eによる
-=============================================================================================
係数 標準誤差 ｔ Ｐ-値 下限95％ 上限95％
----------------------------------------------------------------------------------------------
切片 284.062 135.592 2.094976 0.060121 -14.3742 582.4981
ｘ1 0.799372 4.763842 0.1678 0.869786 -9.68578 11.28452
ｘ2 -2.80801 1.805098 -1.5556 0.148087 -6.78101 1.164983
ｘ3 23.9533 13.57265 1.765045 0.105264 -5.91685 53.82954
----------------------------------------------------------------------------------------------
詳細は下図を参照
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