《一元配置の分散分析について》
●分散分析法
一元配置の分散分析法
複数の学校間の比較や地区間など、３群、４群以上の平均値の同時比較をしたい場合がある。
分散分析では、３群以上の平均値に有意な差が有るかどうかを同時比較ができるパラメトリックな手法である。
その場合、一つだけの要因を考え、その状態をいろいろ変えて比較する方法を「一元配置の分散分析法」という。
表：データ
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1 2 3 ・・ j ・・・ ｐ 全体
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1 X11 X21 X31 Xｐ1
2 X12 X22 X32 Xｐ2
3 X13 X23 X33 Xｐ3
X34
i Xij
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繰り返し数 n１ ｎ2 ｎ3 ・・・・・・ ｎｐ ｎ
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平均値 ｍ1 ｍ2 ｍ3 ・・・・・・ ｍｐ ｍ
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ｍ1〜ｍｐ ： 各グループの平均値 ｎ ： 全体のデータ数（個数）
ｎ1〜ｎｐ ： 各グループのデータ数 ｍ ： 全体の平均値
○分析手順は次の通りです。
@各水準（群、グループ）の平均値を求める。
ｍ1、ｍ2、・・・・・ ｍｐ
A全体の平均値ｍを求める。
ｍ1×ｎ1＋ｍ2×ｎ2＋・・・・＋ｍｐ×ｎｐ
ｍ ＝ ----------------------------------------------
ｎ
B次式により級間変動Ｔ1を求める
Ｔ1 ＝ （ｍ1−ｍ）2×ｎ1＋（ｍ2−ｍ）2×ｎ2＋・・・・＋（ｍｐ−ｍ）2×ｎｐ
C次式より誤差変動ＴＥを求める。
誤差変動ＴＥ ＝ （各水準の測定値−各水準の平均値）2の総和
＝（Ｘ11−ｍ1）2＋（Ｘ12−ｍ1）2＋・・・・＋（Ｘ21−ｍ2）2＋（Ｘ22−ｍ2）2＋・・・
・・＋（Ｘ31−ｍ3）2＋・・・
誤差変動ＴＥ ＝ 全変動Ｔ−Ｔ1 ←---- 全変動Ｔ＝級間変動Ｔ1＋誤差変動ＴＥ
なお、全変動Ｔは
全変動Ｔ ＝ （Ｘ11−ｍ）2＋（Ｘ12−ｍ）2＋・・・・＋（Ｘij−m）2＋・・・・＋（Ｘｐ1−ｍ）2＋・・・
D級間変動および誤差変動の不偏分散Ｖ1、ＶＥを次式より求める。
Ｔ1
Ｖ1 ＝ ----------------
（ｐ−1）
ＴＥ
ＶＥ ＝ ---------------
（ｎ−ｐ）
E検定統計量Ｆ1を次式より求める。
Ｖ1
Ｆ1 ＝ ----------------
ＶＥ
FＦ分布表から、有意水準α、自由度ｄｆ（ｐ−1、ｎ−ｐ）のＦ値を読取り、Eで求めた検定統計量Ｆ1と比較する。
Ｆ1≧Ｆ（α、ｐ−1、ｎ−ｐ）の場合
有意水準αで有意差あり（対立仮説を採択する）
Ｆ1＜Ｆ（α、ｐ−、ｎ−ｐ）の場合
有意水準αで有意差なし（帰無仮説を採択する）
表：分散分析表
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変動要因 変動 自由度 不偏分散 分散比 Ｆ境界値
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グループ間 級間変動Ｔ1 ｐ−１ Ｖ1 Ｖ1/ＶＥ
グループ内 誤差変動ＴＥ ｎ−ｐ ＶＥ （検定統計量）
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全変動 Ｔ ｎ−1
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全変動Ｔ ＝ 級間変動Ｔ１ ＋ 誤差変動ＴＥ
誤差変動ＴＥ ＝ 全変動Ｔ − 級間変動Ｔ１
全変動Ｔ ＝ Σ（各水準の測定値Ｘｉｊ − 全平均値ｍ）２
例１ 投与量を４水準に分けて４つグループで実験を行ったところ、次の様な結果を得た。
投与した量は、実験に影響を及ぼしていると云えるかどうか、有意水準５％で検定しなさい。
表：投与量の違いによる４グループの実験結果
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ａ@ グループ１ グループ2 グループ3 グループ4
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1 33.2 33.8 39.5 38.5
2 33.4 36.7 34.8 39.4
3 30.7 38.2 29.4 38.1
4 32.7 36.4 38.6 40.8
5 28.9 33.1 40.3 33.3
6 28.9 33.1 40.3 33.3
7 32.6 37.3 37.1 36.7
8 31.8 34.6 37.7 34.6
9 35.5 28.7 33.1 37.2
10 32.3 33.5 37.9 39.1
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標本数 10 10 10 10
平均値 32.46 34.38 36.346 37.46
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解
計算
全平均値 ＝ 35.19
35.19 ←----- ＝ａｖｅｒａｇｅ（データ範囲）を利用
級間変動Ｔ1 ＝ 148.748 ------------------------------------------------
74.529 6.561 16.129 51.529
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誤差変動ＴＥ ＝ 251.848
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0.5476 0.3364 9.2416 1.0816
0.8836 5.3824 2.7556 3.7636
3.0976 14.5924 49.8436 0.4096
0.1296 4.0804 4.5796 11.1556
12.6736 1.6984 14.7456 17.3056
2.6896 5.1984 0.0676 0.3136
0.0196 0.85264 0.4096 0.5776
0.4356 0.0484 1.5376 8.1796
9.2416 39.4384 11.2896 0.0676
0.0256 0.7744 2.0736 2.6896
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誤差変動ＴＥ 251.848
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級間変動Ｔ１の不偏分散Ｖ１ ＝ 16560.73
誤差変動ＴＥの不偏分散ＶＥ ＝ 6.995778
検定統計量Ｆ１（＝Ｖ１÷ＶＥ）＝ 7.08751
Ｆ分布表からの読取り ＝ 2.866266
関数 ＝ｆｉｎｖ（α、自由度1、自由度2）
自由度1：水準数−１
自由度2：全標本数−水準数
結論
検定統計量Ｆ１＝7.088＞2.866＝Ｆ（0.05、4−1、40−4）より、有意水準５％で有意な差があることがわかる。
従って、投与量の違いは、実験結果に影響を及ぼしていると統計的に認められる。
☆分散分析：一元配置 （分析ツールの一元配置の分散分析を利用）
概要
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グループ 標本数 合計 平均 分散
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グループ1 10 324.6 32.46 3.30489
グループ2 10 343.8 34.38 8.89067
グループ3 10 364.6 36.46 10.7271
グループ4 10 374.6 37.46 5.0644
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分散分析表
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変動要因 変動 自由度 分散 観察された分散比 Ｐ‐値 Ｆ境界値
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級間変動 148.748 3 49.5827 7.08751 0.00073 2.86627
誤差変動 251.848 36 6.99578
（全変動−級間変動）
全変動 400.596 39
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↑ ↑ ↑
： 検定統計量Ｆ1 Ｆ分布表値
： ＝49.583÷6.996
＝148.748÷3
＝251.848÷36
詳細は下図を参照
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