《基　本　統　計　学　19》 



　　　　　●標準正規分布について

　　　　　　　データの標準化　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　データ　　　　　　　　　　　　　　　標準化データ
　　　　　　　　------------　　　　　　　　　　　　-------------------
　　　　　　　　　　ｘ1　　　　　　　　　　　　　　　　　ｚ1
　　　　　　　　　　ｘ2　　　　　　　　　　　　　　　　　ｚ2
　　　　　　　　　　　：　　データの標準化（ｚ変換）　　　：
　　　　　　　　　　　：　　-----------------------→　　：
　　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　ｘｉ−ｍ　　　　：
　　　　　　　　　　ｘｎ　　　　　ｚｉ＝------------　　 ｚｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓｔｄ
　　　　　　　　　　　　　ｍ　＝　平均値
　　　　　　　　　　　　　Ｓｔｄ＝標準偏差
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　標準化したデータを用いて作成された正規分布を「標準正規分布」という。
　　　　　　標準正規分布の分布表（標準正規分布表」の特徴は
　　　　　　　　　　平均値＝0
　　　　　　　　　　分散（標準偏差）＝1
　　　　　　この標準正規分布表を、ｚ値毎に表にまとめたものを、「標準正規分布表」という。

　
　　　　　　
　　　　　　上表を、ｚ軸を横軸に表したグラフが標準正規分布で、ｚ＝0の線対称分布図になります。ｚ≧0の部分の面積が５０％
　　　　　を占めます。また、ｚ≦0の部分の面積が５０％を占めることになります。

　　　　例１　ある学校で体重測定を実施したところ、体重の平均値は５８Ｋｇで、標準偏差は３．０Ｋｇであった。
　　　　　　　このデータが正規分布に従うと仮定して、体重６４Ｋｇ以上の生徒は全体で何％いるか、求めなさい。

　　　　　解
　　　　　　　　データ
　　　　　　　-----------
　　　　　　　平均値　＝58
　　　　　　　標準偏差＝3.0　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　データの標準化
　　　　　　　与えられた値　６４Ｋｇ　　-----------------→　標準化された値　ｚ＝２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（64−58）/3
　　　　　　　ｚ＝2の場合の標準正規分布表値は、0.4772と読み取れる。
　　　　　　　従って、６４Ｋｇ（ｚ＝2）以上の標準正規分布が占める面積は、0.5−0.4772＝0.0228となる。
　　　　　　　よって、体重64Ｋｇ以上の生徒は、0.0228×100＝2.28、約２．２８％いることがわかる。

　　　　例２　例１において、体重が50から60Ｋｇの生徒は、全体でなん％いるでしょうか、求めなさい。

　　　　　解
　　　　　　　normsdist（ｚ）関数は、標準正規分布において、−∞〜ｚまでの面積（全面積１に対する）を表している。
　　　　　　　　　　体重50Kg　　　　　　　　　　　　　　ｚ1＝-2.66667
　　　　　　　　　　　　　　　--------------------→　 
               　　体重60Kg　　　　標準化　　　　　　　ｚ2＝0.66667

　　　　　　　　　　−∞からｚ1＝−2.66667までの面積　＝　0.00383
　　　　　　　　　　−∞からｚ2＝0.66667までの面積　 ＝　0.747507　　　　
　　　　　　　　
　　　　　従って、体重50Kg（ｚ＝-2.66667）から60Kg（ｚ＝0.66667）の標準正規分布が示す面積は。0.747507−0.00383＝0.74368
　　　　　であるので、その範囲に属する生徒は、全体で0.74368×100＝７４．３７％であることがわかる。


　　　　例３　学生１０００人の身長の平均値は１５２cmで、標準偏差は４ｃｍであった。
　　　　　　　なお、データは、正規分布に準拠しているものとする。
　　　　　　１）身長148ｃｍから155ｃｍの学生数を推計しなさい。
　　　　　　２）身長152ｃｍ以上の学生数を推計しなさい。
　　　　　　３）身長149ｃｍ以下の学生数を推計しなさい。　

　　　　　解
　　　　　　　関数normsdist（ｚ）は、標準正規分布において、−∞からｚまでの面積（全面積１に対する）を表している。
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　表
　　　　　　　　　---------------　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　標本数　　1000
　　　　　　　　　平均値　　152
　　　　　　　　　標準偏差　4
　　　　　　　　　----------------
　　　　　　１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　標準化データ
　　　　　　　　　身長　148　　　　　　　　　　　　　　　　ｚ1＝−１
　　　　　　　　　　　　　　　----------------------→
　　　　　　　　　身長　155　　　　　標準化　　　　　　　　ｚ2＝0.75
　　　　　　　
　　　　　　　　　標準正規分布において
　　　　　　　　　　　−∞からｚ1＝−１までの面積＝0.158655　←-----　＝normsdist（-1）
　　　　　　　　　　　−∞からｚ2＝0.75までの面積＝0.773373　←-----　＝normsdist（0.75）

　　　　　　　　　従って、148ｃｍ（ｚ1＝-1）から155ｃｍ（ｚ2＝0.75）までの面積は、0.773373−0.158655＝0.614717であるので
　　　　　　　　全体の0.61472×100＝61.472％となる。
　　　　　　　　　よって、求めるその範囲の人数は、1000×0.61472≒615名となる。

　　　　　2）
　　　　　　　身長　158ｃｍ　------------→　ｚ＝1.5　
　　　　　　　　　　　　　　　標準化

　　　　　　　標準正規分布において
　　　　　　　　　−∞から158ｃｍ（ｚ＝1.5）までの面積＝0.933193　←--------　＝normsdist（1.5）

　　　　　　　従って、158ｃｍ以上の面積は、1−0.933193＝0.066807であるので、その範囲の面積は全体の100×0.066807＝6.68％
　　　　　　となるので、求める範囲に入る人数は、1000×0.0668≒67人と推定できる。

　　　　　３）
　　　　　　　　身長　149ｃｍ　-----------→　ｚ1＝−0.75
　　　　　　　　　　　　　　　　　標準化

　　　　　　　　求める範囲は、−∞からｚ＝−0.75までの標準正規分布上の面積範囲であるので、その面積は0.2267（＝normsdist
　　　　　　　（−0.75））であるので、0.227×100＝22.7％となる。
　　　　　　　　従って、その範囲に入る人数は、1000×0.227＝227人と推計できる。
　　　
　
詳細は下図を参照