《基　本　統　計　学　17》



　　　　　　●相関と回帰について
　　　　　　　　○相関関係について
　　　　　　　　　　２つの集団の関連性っを調べる。
　　　　　　　　　　いま、各集団からデータを採取したとき、一方の値が増加すればそれに伴って、もう一方の集団の値が増加も
　　　　　　　　　しくは減少するような場合、この２つの集団間には「相関関係がある」という。
　　　　　　　　　　　　相関関係　　　　
　　　　　　　　　　　　　　説明変数（独立変数）１個
　　　　　　　　　　　　　　目的変数（従属変数）１個
　　　　　　　　　　　　回帰直線
　　　　　　　　　　　　　　説明変数をX軸、目的変数をY軸にとったときの散布図上の分布を代表する直線の方程式
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ　＝　ａＸ　＋　ｂ
　　　　　　　　　　　　　　をいう。

　　　　　　　　　相関関係があるかないかを示す場合、「相関係数」ｒと云う統計指標を用いる。
　　　　　　　　　その相関係数は、以下の様に評価される。

　　　　　　　　　　　　　　表　：　相関係数ｒとその評価　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　相関係数の大きさ　　　　　　　　評価
　　　　　　　　　　　　　------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　　0   〜 ±0.2　　　　　　相関関係なし
　　　　　　　　　　　　　　±0.2 〜 ±0.4　　    　　弱い相関関係あり
　　　　　　　　　　　　　　±0.4 〜 ±0.7　　　　　　中程度の相関関係あり
　　　　　　　　　　　　　　±0.7 〜 ±1　　　　　　　強い相関関係あり
　　　　　　　　　　　　　------------------------------------------------
　　　　　　　　　相関係数ｒは、必ず以下の範囲の値をとる。
　　　　　　　　　　　　　　　−１　　　≦　　ｒ　　≦　　　＋１
　　　　　　　　　　　　　　・負の相関（逆相関）　　　　・正相関（順相関）
　　　　　　　　　　　　　　・分布は右下り傾向　　　　　・分布は左上り傾向
　　　　　　　　　　　　　　・増加すれば減少　　　　　　・増加すれば増加

　　　　　　　　○回帰（直線）について
　　　　　　　　　　相関係数が強い場合、分布の範囲はシャープな分布を示し、この分布を１本の直線で代表させることが出来る。
　　　　　　　　　　この直線のことを、「回帰直線」という。
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ　＝　ａＸ　＋　ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ　：　回帰係数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ　：　回帰定数

　　　　　　　　☆相関係数ｒの求め方
　　　　　　　　　　２つの測定値を次のようにとる
　　　　　　　　　　　　Ｘ集団　：　ｘ1、ｘ2、・・・・・、ｘｎ　　説明変数（独立変数）　
　　　　　　　　　　　　Ｙ集団　：　ｙ1、ｙ2、・・・・・、ｙｎ　　目的変数（従属変数）

　　　　　　　　　　計算手順
　　　　　　　　　　　　�@ ２つの測定値の平均値を求める
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍｘ、ｍｙ
　　　　　　　　　　　　�A ２つの測定値の標準偏差を求める
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓｔｄｘ、Ｓｔｄｙ
　　　　　　　　　　　　�B ２つの測定値の各偏差を求める
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ1−ｍｘ、ｘ2−ｍｘ、・・・・、ｘｎ−ｍｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ1−ｍｙ、ｙ2−ｍｙ、・・・・、ｙｎ−ｍｘ
　　　　　　　　　　　　�C 各偏差の積の総和を求める
　　　　　　　　　　　　　　（ｘ1−ｍｘ）（ｙ1−ｍｙ）＋（ｘ2−ｍｘ）（ｙ2−ｍｙ）＋・・・・＋（ｘｎ−ｍｘ）（ｙｎ−ｍｙ）
　　　　　　　　　　　　�D �Cで求めた偏差平方和を標本数−1（＝ｎ−1、自由度ｄｆ）で割る
　　　　　　　　　　　　　　　この値を、「共分散」Ｖｘｙという
　　　　　　　　　　　　�E �Dで求めた共分散を２つの標準偏差の積で割り、相関係数ｒを求める
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｖｘｙ
　　　　　　　　　　　　　　　ｒ　＝　-----------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓｔｄｘ　×　Ｓｔｄｙ

　　　　　　　　　エクセルの統計関数を利用する場合
　　　　　　　　　　　　　　　＝ｃｏｒｒｅｌ（Ｙのデータ範囲、Ｘのデータ範囲）

　　　　　　　　☆回帰直線の求め方
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｙの標準偏差Ｓｔｄｙ
　　　　　　　　　　　ａ（回帰係数）　＝　相関係数ｒ　×　------------------------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘの標準偏差Ｓｔｄｘ
　　　　　　　　　　　ｂ（回帰定数）　＝　Ｙの平均値ｍｙ　−　回帰係数ａ　×　Ｘの平均値ｍｘ

　　　　　　　　　エクセルの統計関数を利用する場合
　　　　　　　　　　　ａ（回帰係数）＝ｓｌｏｐｅ（Ｙのデータ範囲、Ｘのデータ範囲）
　　　　　　　　　　　ｂ（回帰定数）＝ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ（Ｙのデータ範囲、Ｘのデータ範囲）



　　　　　　詳細は下図を参照