《基　本　統　計　学　12》

　　　　●母平均値の推定処理

　　　　　　　　　母集団　----------------------------→　標本集団
　　　　　　　　　　母平均値μ＝？　　ランダム抽出　　　　　　データ　　　　ｘ1、ｘ2、・・・　ｘｎ
　　　　　　　　　　母分散＝？　　　　　　　　　　　　　　　　標本数　　　　ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　標本平均値　　ｍ
　　　　　　　　　　　　↑　　　区間推定する　　　　　　　　　標本標準偏差　Ｓｔｄ
　　　　　　　　　　　　 ----------------------------------

　　　　　　ある統計的条件で推定する
　　　　　　その場合、使用する語句は以下
　　　　　　　　　有意水準、危険率、信頼度（信頼水準）、α、もしくはｐ
　　　　　　また、統計学の慣例として、次の２条件で処理をする場合が多い
　　　　　　　　　α＝0.05、α＝0.01

　　　　　　　　　α＝０．０１の場合　・・・・　有意水準１％、危険率＝1％、信頼度＝９９％
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１００個のデータのうち９９個まではその様にいえるが、あとの１個について
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　はその様に言えるかどうかわからない。

　　　　　　　　　α＝０．０５の場合　・・・・　有意水準５％、危険率＝５％、信頼度＝９５％
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１００個のデータのうち９５個まではその様にいえるが、あとの５個について
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　はその様に言えるかどうかわからない。
　　　　　　
　　　　　　母平均値μについて、統計量（ｍ−μ）/（Ｓｔｄ/√（ｎ））の分布は、自由度ｄｆのｔ分布に従う事が知られている
　　　　　　そうすると、次の不等式が成立する

　　　　　　　　　　　−ｔ（α/2）　≦　（ｍ−μ）/（Ｓｔｄ/√（ｎ）　≦　＋ｔ（α/2）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　μについて不等式を解くと
　　　　　　　　　　　ｍ−ｔ（α/2）×Ｓｔｄ/√(ｎ）　≦　μ　≦　ｍ＋ｔ（α/2）×Ｓｔｄ/√（ｎ）　
　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ　　　　　：　標本平均値
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓｔｄ　　　：　標本標準偏差
　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ　　　　　：　標本数　
　　　　　　　　　　　　　　　　α　　　　　：　有意水準値
　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ（α/2）　：　有意水準α、自由度ｄｆにおけるｔ分布表値


　　　　　　例１　ある集団の平均値を推定したい。集団から１６人をランダム抽出し、その平均身長と標準偏差を計算すると、そ
　　　　　　　　れぞれ170ｃｍ、12ｃｍであった。
　　　　　　　　　このとき、信頼度９５％（有意水準５％）で、元の集団全体の平均値（母平均値）を区間推定しなさい。
　　　　　　　解
　　　　　　　　　　　　　　　データ
　　　　　　　　　　　　　　------------------------　
　　　　　　　　　　　　　　　標本数　　16　
　　　　　　　　　　　　　　　平均値　　170
　　　　　　　　　　　　　　　標準偏差　12
　　　　　　　　　　　　　　　有意水準　0.05　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　（信頼度９５％）
　　　　　　　　　　　　　　------------------------　

　　　　　　　計算
　　　　　　　　　　　　　　　ｔ（0.05、16-1）のｔ分布表値　2.131　←----　＝ｔｉｎｖ（0.05、16-1）
　　　　　　　　　従って母平均値は
　　　　　　　　　　　　　　　163.6　　　　　　〜　　　　176.4
　　　　　　　　　　　　　　＝170−2.131×12/√（16）　＝170＋2.131×12/√（16）

　　　　　　　結論
　　　　　　　　　信頼度９５％では、元の集団全体の身長の平均値は、163.6ｃｍから176.4ｃｍと区間推定できる。

　　　　　　例２　ある母集団からの標本数２０名について、タンパク質摂取量（ｇ）を測定したところ、平均値が７７ｇ、標準偏差
　　　　　　　　は１１ｇであった。
　　　　　　　　　１）この集団のタンパク質摂取量を信頼度９５％で推定しなさい。
　　　　　　　　　２）この集団のタンパク質摂取量を有意水準１％で推定しなさい。
　　　　　　　解
　　　　　　　　　　　　基本統計値
　　　　　　　　　　　　-------------------------------
　　　　　　　　　　　　標本数　　　　　20
　　　　　　　　　　　　平均値　　　　　77
　　　　　　　　　　　　標準偏差　　　　11
　　　　　　　　　　　　------------------------------

　　　　　　　計算
　　　　　　　　　１)
　　　　　　　　　　　　信頼度９５％におけるｔ分布表値
　　　　　　　　　　　　　　　ｔ（0.05、20−1）＝2.093024　　←--------　＝ｔｉｎｖ（0.05、20−1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　従って母平均値は
　　　　　　　　　　　　　　　　70.7　　　　　　〜　　　　　　83.3
　　　　　　　　　　　　　　＝77−2.093024×11/√20）　　＝77−2.093024×11/√（20）

　　　　　　　　　２)
　　　　　　　　　　　　有意水準１％におけるｔ分布表値
　　　　　　　　　　　　　　　ｔ（0.01、20−1）＝2.860935　　←--------　＝ｔｉｎｖ（0.01、20−1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　従って母平均値は
　　　　　　　　　　　　　　　　68.4　　　　　　〜　　　　　　85.6
　　　　　　　　　　　　　　＝77−2.860935×11/√20）　　＝77−2.860935×11/√（20）

　　　　　　　結論
　　　　　　　　１)信頼度９５％では、元の母集団のタンパク質摂取量の母平均値は、７０．７ｇから８３．３ｇと区間推定でき
　　　　　　　　　る。

　　　　　　　　２)有意水準１％では、元の母集団のタンパク質摂取量の母平均値は、６８．４ｇから８５．６ｇと区間推定でき
　　　　　　　　　る。

　　　　　　例３　ある地区で無作為に抽出した４０歳以上の男性の血清聡コレステロール値は、以下の通りであった。
　　　　　　　　　この地区の４０歳以上の男性の血清総コレステロール値の母平均値は、どの範囲にあるか、信頼度９５％で区間
　　　　　　　　推定しなさい。　　　
　　　　　　　　　　　　　データ（mg/dl）
　　　　　　　　　　　　-------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　178　　190　　164　　170　　230　　190　　210　
　　　　　　　　　　　　　198　　240　　186　　170　　200
　　　　　　　　　　　　-------------------------------------------------
　　　　　　　解　　　　
　　　　　　　　　　　　基本統計値
　　　　　　　　　　　　-------------------------------
　　　　　　　　　　　　　標本数　　　　　12
　　　　　　　　　　　　　平均値　　　　　193.8
　　　　　　　　　　　　　標準偏差　　　　23.594
　　　　　　　　　　　　-------------------------------
　　　　　　　計算
　　　　　　　　　　　　信頼度95％におけるt分布表値
　　　　　　　　　　　　　　　t（0.05、12−1）＝2.200985　　　←---------　＝ｔｉｎｖ（0.05、12−1）

　　　　　　　　　　　　従って母平均値は、
　　　　　　　　　　　　　　　１８７．２　　　　　　　〜　　　　　　２００．４
　　　　　　　　　　　　　　＝193.8−2.200985×23.594/√（12）　＝193.8＋2.200985×23.594/√（12）
　　　　　　　結論
　　　　　　　　　　信頼度９５％において、この地区の４０歳以上の男性の血清総コレステロール値の母平均値は、１８７．２か
　　　　　　　　　ら２００．４（ｍｇ/ｄｌ）と区間推定できる。
　　

　　　　　　　　　　　　　　
　　　　●ｔ検定処理　
　　　　　　二つの集団間の平均値の差の検定　・・・・　検定処理（ｔ検定）

　　　　　　　　母集団　-----------------------→　標本集団Ａ　------------------------→　標本集団Ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　ランダム抽出　　　　　　　　　　　　　　　ある処理を行う

　　　　　　　　母集団　-----------------------→　標本集団Ｃ
　　　　　　　　　　　　　同一母集団の別の部分から　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　ランダム抽出

　　　　　　・処理を施した前後の標本集団Ａ，Ｂ間に差が生じたかどうかを調べる
　　　　　　　　　　　　・・・・　２集団間に対応関係がある場合の平均値の差の検定

　　　　　　・同一母集団から得られた標本集団Ａ，Ｃ間に差が有るかどうかを調べる
　　　　　　　　　　　　・・・・　２集団間に対応関係が無い場合の平均値の差の検定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２集団は等分散と仮定　通常のｔ検定）

　　　　　　有意水準αで有意な差が有るかどうかは、検定統計量（値）を計算で求めて、有意水準αと自由度ｄｆでのｔ分布表値
　　　　　と以下の検定の通り比較する　　　　　　　　　

　　　　　※検定の方法
　　　　　　　　検定統計量ｔ≦ｔ分布表からの読取り値　・・・・　有意水準αで有意差あり
　　　　　　　　（計算による）　　ｔ（α、ｄｆ）　　　　　　　　帰無仮説を棄却して、対立仮説を採択
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平均値に有意な差が認められる

　　　　　　　　検定統計量ｔ≧ｔ分布表からの読取り値　・・・・　有意水準αで有意差なし　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　対立仮説を棄却して、帰無仮説を採択
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平均値に有意な差は認められない

　　　　　　☆ｐ値を使用して検定する場合
　　　　　　　　ｐ値≦有意水準α　・・・・　帰無仮説を棄却して、対立仮説を採択
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　ｐ値≧有意水準α　・・・・　帰無仮説を採択して、対立仮説を棄却
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　なお、ｐ値は以下の統計関数を用いて求められる
　　　　　　　　　　　　　ｐ値　←--------------　＝ｔｄｉｓｔ（検定統計量ｔ、自由度、２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　：　片側検定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２　：　両側検定

　　　　　◎２集団間に対応関係がある場合の平均値の差の検定
　　　　　　　次式で、検定統計量ｔを求め、ｔ分布表からの読取り値ｔ（α、ｄｆ）と比較する

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　差の平均値
　　　　　　　　　　　　検定統計量ｔ　＝　-----------------------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　√（差の分散/標本数）
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　検定統計量ｔ≧ｔ（α、ｄｆ）の場合　・・・・　有意水準αで有意な差が有る（有意差あり）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　処理前後で、平均値に差が認められる
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この処理は有効に機能した　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　対立仮説を採択する

　　　　　　　　　　　　　　定統計量ｔ≦ｔ（α、ｄｆ）の場合　・・・・　有意水準αで有意な差は認められない（有意差なし）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　処理前後で、平均値に差は認められない
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この処理は有効に機能していない
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（別の処理を考えなければならない）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　帰無仮説を採択する
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ(α、ｄｆ）　：　有意水準α、自由度ｄｆのｔ分布表からの読取り値
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　統計関数を用いて　＝ｔｉｎｖ（α、ｄｆ）

　　　　　　　例　次の表は、高血圧患者１０名に対して、１年間、減塩指導を施す前と後の最高血圧値の変化を表している。
　　　　　　　　　この表から、この減塩指導がこの高血圧患者１０名の最高血圧値の降下に有効であるかどうかを有意水準１％で
　　　　　　　　検定しなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　表　：　減塩指導前後の最高血圧値
　　　　　　　　　　　　　　　　　-----------------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　被験者　　指導前　　　　指導後　　差（指導前−指導後）
　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　168　　　　　　165　　　　　3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　179　　　　　　145　　　　　34
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　　　　170　　　　　　165　　　　　5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　　　　167　　　　　　161　　　　　6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5　　　　175　　　　　　170　　　　　5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6　　　　172　　　　　　145　　　　　27
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7　　　　169　　　　　　150　　　　　19
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8　　　　173　　　　　　164　　　　　9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9　　　　166　　　　　　157　　　　　9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10　　　 176　　　　　　152　　　　　24
　　　　　　　　　　　　　　　　　-------------------------------------------------------
　　　　　　　　　　計算
　　　　　　　　　　　　差の平均値　＝　14.1
　　　　　　　　　　　　差の分散　　＝　124.2111

　　　　　　　　　　　　検定統計量ｔ＝　4.049934

　　　　　　　　　　　　ｔ（0.01、10−1）＝3.250   	←------ｔ分布表から読み取る
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝3.249836　　　 ←------＝ｔｉｎｖ（0.01、10−1）

　　　　　　　　　　　　◎分析ツールを利用
　　　　　　　　　　　　　ｔ-検定　：　一対の標本による平均値の検定ツール
　　　　　　　　　　　　　----------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　指導前　　　　　指導後
　　　　　　　　　　　　　---------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　平均値　　　　　　　　171.5　　　　　157.4
　　　　　　　　　　　　　　分散　　　　　　　　　18.05556　　 　80.26667
　　　　　　　　　　　　　　観測数               10             10
　　　　　　　　　　　　　　ピアソン相関        −0.30062
　　　　　　　　　　　　　　仮説平均　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　　　自由度　　　　　　　　9
　　　　　　　　　　　　　　ｔ　　　　　　　　　　4.049934
　　　　　　　　　　　　　　ｐ（Ｔ≦ｔ）片側　　　0.001443
　　　　　　　　　　　　　　ｔ境界値　片側　　　　2.821438
　　　　　　　　　　　　　　ｐ（Ｔ≦ｔ）両側　　　0.002885
　　　　　　　　　　　　　　ｔ境界値　両側　　　　3.249836　
　　　　　　　　　　　　　-----------------------------------------------
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　結論
　　　　　　　　　　　　検定統計量ｔ＝4.050＞3.250＝ｔ（0.01、10−1）より、有意水準１％で有意な差がある事が分かる。
　　　　　　　　　　　　従って、この減塩指導は、この高血圧患者１０名の最高血圧値の降下に有効に働いていると結論付ける事
　　　　　　　　　　　　ができる。

　　　　　詳細は下図を参照