正600胞体



4次元空間の正600胞体です。
正二十面体の4次元版ともいえる図形です。
正四面体が600個からできていて，正四面体の各辺のまわりに5個の正四面体が集まっているものです。 ４次元空間ならではの図形です。正二十面体は正三角形が各頂点のまわりに5個ずつ集まっているのと同じ感じでしょう。
ここで紹介するのは4次元の図形の3次元空間への射影模型です。 (x,y,z,w)という座標で考えたとき，各頂点の座標を与えることができますが，通常の座標の与え方がありまして，ここでは，H.S.M.Coxeter "REGULAR POLYTOPES"という本の157頁にでている座標を使います。

原点から各頂点まですべて同じ値で，距離２だとしてあります。 3次元空間への射影とは(x,y,z,w)→(x,y,z)という射影です。 したがって，w座標が異なる頂点も，(x,y,z)が同じなら3次元空間では重なることになります。 そのため，3次元では四面体は２７０個に減ります。

ゾムツールの模型の写真です。


図形は正二十面体の対称性を持っていますので，２回，３回，５回の回転対称性を持ちます。


３つの対称軸方向から見た写真です。 写真クリックで大きな写真を表示します。

2回対称軸

3回対称軸

5回対称軸

ゾムツールによる作成手順

作成手順は，George W. Hart, "Zome Geometry", 2001, Key Curriculum Press, p182 に記述されていて，参考になりました。

構成Zometool： 75Balls，120B3，120Y3，72R2，72R3。

中心部から外側に膨らませていく手順を示します。

(1) 中心からB3を12本伸ばす
13Balls,12R3		 (2) 正二十面体を作る
30B3
 (3) 正三角形の上に黄色のピラミッドを立てる
20Balls,60Y3		 (4) 黄色のピラミッドの頂点を青で結び正十二面体を作る
30B3

(5) 正二十面体の各頂点にに赤R2で支柱を十二本立ててボールもつけておき， 支柱の先のボールと正十二面体の各頂点を赤R3で結んでひし形を作っていき， 菱形三十面体が出来上がる。
12Balls,12R2,60R3		 (6) 黄色(Y3)2本と赤色(R2)2本をボールでつないだ屋根の形の部品を30個作る。
30Balls,60R2,60Y3		 (7) その屋根を菱形三十面体のひし形にはめ込んでいく。
 (8) 30個の屋根の頂点を青B1で結んでいくと，正三角形と正五角形でできた二十面十二面 体ができる。完成。
60B3


構成ゾムツールの個数は，
ボール：75，B3：120，R2：72，R3：72，Y3：120

四次元から三次元に射影するときに重なりがあるのでいろいろな個数が減ります。

頂点 辺 面 四面体
四次元 120 720 1200 600
三次元 75 384 580 270


座標についてのメモ

(x,y,z)座標空間で，各頂点の座標を与えてみます。
x>0，y>0，z>0 の範囲のみを切り取った部分を考えます。



図の原点を O(0,0,0)とします。

黒のボールの点が座標軸上の点でA(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)とします。

菱形三十面体の頂点がD(1,1,1)，E(τ,1/τ,0)，F(1,τ,0)，G(0,τ,1/τ)，H(0,1,τ)， I(1/τ,0,τ)，J(τ,0,1)

正二十面体上の頂点が K(1/τ,1,0)，L(0,1/τ,1)，M(1,0,1/τ)

二十面十二面体上の頂点が A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，P(τ,1,1/τ)，Q(1/τ,τ,1)，R(1,1/τ,τ)

です。

この部分をxy平面，yz平面，zx平面について対称移動させると全体が得られます。

回転移動も考えて，もっと基本的な部分のみを考えることができますが，平易に考えると，上の1/8の部分を考えるのが楽だと思います。

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