冠稲荷神社（群馬県太田市）

図のように、正四面体の内に大小それぞれ４つの球が接するようにある。大の４球は正四面体の三面に

接し、小の１球は正四面体の三面に接し、小の３球は、正四面体の二面と大小球の表面にせっしている。

ここで大球の直径を２７．３寸とすると、小球の直径は、いくらか。

一稜(多面体のとなりあった二つの面が交わってなす直線)の長さがａである正四面体は、がａである

正三角形４面で構成されている。下の投影図にａの実長が表れているのは、平面図の底辺の正三角形の

Ｂ’Ｃ’＝Ｃ’Ｄ’＝Ｄ’Ｂ’の各辺と立面図の稜ＡＢが実長である。また側面の正三角形の高さの実長が表れ

ているのは平面図のＢ’Ｅ’と立体図のＡＥとであり、その実長は、公式により　ｈ＝ａ×(√３／２)　である。   

(正三角形の一辺の高さ）×√３÷２　　です。

　　　　　　　　　　

△ＡＢG および△ＡＣG は直角三角形であるから， ＡＢ = ＡＣ より △ ＡＢG≡ＡＣG 

{≡ (合同記号) }　　　∴GＢ= GＣ ＡＢ = ＡＣ = ＡＤ であることより，同様に△ＡＤG についても考えると，

 GＢ = GＣ = GＤ 以上より，点G は三角形ＢＣＤ の外心である． ここで，正三角形の外心と重心は一致

するから，直線ＢG と辺ＣC との交点を Ｅ とすると， ＢG:GＥ = 2 :1 である．

【三角形の合同条件　（対応する辺や角を「組」で表す）】

１）３組の辺がそれぞれ等しい。

２）２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

３）１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

【三角形の相似条件】

１）３組の辺の比がすべて等しい。

２）２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。

３）２組の角がそれぞれ等しい。

正四面体を構成する正三角形の重心は底面ＢＣＤでは、点Ｇであり、また側面ＡＣＤでは点Ｆである。

したがって

ＡＦ＝ＢＧ＝(２／３)ｈ＝(√３／３)ａ　　　ＦＥ＝ＧＥ＝(１／３)ｈ＝(√３／６)ａ

正四面体の高さであるＡＧ＾２＝ＡＥ＾２−ＧＥ＾２＝（(√３／２)ａ）＾２−(（√３／６)ａ）＾２＝

(（３／４)ａ)＾２−（(√３／６)ａ）＾２＝(（３／４)ａ）＾２−(（３／３６)ａ）＾２＝

（９／１２−１／１２）＾２　　　　　　ＡＧ＝(√６／３)ａ・・・�@　

また正四面体の高さにあたる線分ＡＧとＢＦとの交点Ｏは、正四面体の重心である。

正四面体に内接する球はその２つの重心を共有する。

正四面体の各稜をａ、その内接球の直径をＫとする直角三角形ＢＥＦとBOGとは、相似であるから

ＢＥ：ＢＯ＝ＥＦ：ＯＧ＝ＢＥ×ＯＧ＝（ＢＦ−ＯＦ）×ＥＦ＝(√３／２)ａ×Ｋ／２＝

（√６／３)ａ−Ｋ／２）×(√３／６)ａ　　Ｋ／２＝(√６／(３×３))ａ−(Ｋ／２×１／３)＝９Ｋ＝

(２√６)ａ−３Ｋ Ｋ＝(√６／６)ａ

したがって、内接球の直径は、この正四面体の高さＡＧの１／２であり、ＡＨ＝ＨＧで

また半径は、(√６／１２)ａである。

直径がＬである４等球が図のように接している。４球の中心を結んでできる立体

Ｌ，Ｌ2、Ｌ3、Ｌ4は、一稜の長さＬである正四面体であり、その高さである ＬＰ は、

�@を適用して、ＬＰ ＝　(√６／３)Ｌ・・・�A　　したがって４球全体の高さ

ＨＧ＝ＨＬ＋ＬＰ＋ＰＧ＝Ｌ／２＋(√６／３)Ｌ＋Ｌ／２＝(√６／３)Ｌ＋Ｌ・・・�B

大球をＭ（ｍ）、小球をＬ（ｘ），Ｌ2（ｘ）Ｌ3（ｘ）Ｌ4（ｘ）　とする。

ＡＭ＝ＡＬ＋ＬＰ＋ＰＭ ＡＬは（２）より小球径の３／２倍であり同様にＡＭは

大球径の３／２倍である。 ＬＰは（３）の�A式である。　　　

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Ｌ＝ｍ　Ｋ＝ｘ　とする。 ＰＭ＝√ＬＭ^2− ＬＰ^2＝√（（ｍ＋ｘ）^2／２）−（√３／３）^2

＝√（（ｍ＋ｘ）^2／２）−（ｘ^2／３）＝√（（ｍ^2＋２ｍｘ^2＋ｘ^2）／４）−（ｘ^2／３）

３ｍ／２＝３／２ｘ＋√（２ｘ／３）＋√（（ｍ^2＋２ｍｘ^2＋ｘ^2）／４）−（ｘ^2／３）

√（（ｍ^2＋２ｍｘ^2＋ｘ^2）／４）−（ｘ^2／３）＝３ｍ／２−３ｘ／２−√６ｘ／３

（ｍ＾２＋２ｍｘ＋ｘ＾２）／４−ｘ＾２／３＝９ｍ＾２／４＋９ｘ＾２／４＋６ｘ＾２／９

３ｍ^2＋６ｍｘ＋３ｘ^2−４ｘ^2＝２７ｘ＾２＋８ｘ＾２＋２７ｍ＾２−５４ｍｘ

−１２√６ｍｘ＋１２√６ｘ＾２

３６ｘ＾２＋１２√６ｘ＾２−６０ｍ−１２√６ｍｘ＋２４ｍ＾２＝０

（３＋√６）ｘ＾２−（５＋√６）ｍｘ＋２ｍ＾２＝０

ｘ＝（５＋√６±√（５＋√６）＾２−８（３＋√６））ｍ／２（３＋√６）

＝（５＋√６±√２５＋１０√６＋６−２４−８√６）ｍ／（６＋２√６）

＝（５＋√６±√７＋２√６）ｍ／（６＋２√６）＝（５＋√６＋１＋√６）ｍ／（６＋２√６）

＝（６＋２√６）ｍ／６＋２√６＝ｍ　　（ｘ＝ｍとなり ± の ＋ は、不適）

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ｘ＝（５＋√６−１−√６）ｍ／２（３＋√６）＝４ｍ／２（３＋√６）＝２ｍ／（３＋√６）＝

２×２７．３／（３＋√６）＝５４．６／（３＋√６）＝１０．０１９２８６