｛原文｝

今有如図円擣斜乃之截容甲球二個｢乃甲球二個者如径」乙球一個只云甲球径若干問得乙球径径術如何

答曰 如左術　術曰置四千一百三十一個開平方以減一百四十四個余乗甲球径以八十一除之得乙球径合問

【江戸時代の計算方法】　４１３１を平方に開いて１４４から引き、それに甲球の直径を掛けた結果を８１で割れば

乙球の直径が求めらる。　甲球の直径をｋ、乙球の直径をｘとすると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝（１４４-√４１３１）ｋ÷８１　　　　である。

【現代の計算方法】　甲球をＫ（ｋ），円柱の直径ＢＣ＝２ｋ、乙球をＬ（ｘ），∠ＡＢＣ＝α、∠ＫＢＤ＝β　とする。

ｔａｎβ＝ＫＤ／ＢＤ＝１／２　である。　α＝２β　であるから、　ｔａｎα＝ｔａｎ２β＝ｔａｎ（β+β）

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◆ｔａｎの加法定理の証明◆

ｔａｎ（α+β）＝ｓｉｎ（α+β）/cos（α+β）＝（ｓｉｎαcosβ+cosαｓｉｎβ）/（cosαcosβ-ｓｉｎαｓｉｎβ）

ｔａｎを作る為にcosαcosβで割る。　分子：　（ｓｉｎαcosβ）/（cosαcosβ）+（cosαｓｉｎβ）/（cosαcosβ）＝

（ｓｉｎα/cosα）+（ｓｉｎβ/cosβ）＝ｔａｎα+ｔａｎβ　　

分母：　（cosαcosβ）/（cosαcosβ）-（ｓｉｎαｓｉｎβ）/（cosαcosβ）＝１-（ｓｉｎαｓｉｎβ）/（cosαcosβ）＝

１-ｔａｎα+ｔａｎβ　　分子/分母＝（ｔａｎα+ｔａｎβ）/（１-ｔａｎα+ｔａｎβ）

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ｔａｎα＝（２×ｔａｎβ）／（１-ｔａｎβ＾2）＝｛２×（１／２）｝／｛１-（１／２）＾2｝＝１／｛１-（１／４）｝＝４／３

したがって、　ＡＣ＝ＢＣｔａｎα＝２ｋ（４／３）＝（８ｋ）／３　                                                                             

　　　　　　　　　　◆三角関数sec, cosec, cotと記号の意味◆

sec(x)=1/cos(x)　　　 cosec(x)=1/sin(x)　　　cot(x)=1/tan(x)

sec のことを正割（セカント），cosec のことを余割（コセカント），cot のことを余接（コタンジェント）と呼びます。

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∠ＬＡＥ＝γ（ガンマ）　とすると　（α+Ω）+９０＝１８０　　α=２β Ω（オメガ）＝２γ

（２β+２γ）＝９０　　２（β+γ）＝９０　　β+γ＝４５　　ｃｏｔ４５＝１/tan４５＝ｃｏｔ（β+γ）

cot (β＋γ) ＝ ｛(cot β cotγ ) − 1｝/ (cot β ＋ cot γ) 　直角三角形なので　tan４５＝１　

１＝｛（ｃｏｔβｃｏｔγ）-１｝／（ｃｏｔβ+ｃｏｔγ） 　１＝｛（ｃｏｔβｃｏｔγ）-１｝／（ｃｏｔβ+ｃｏｔγ） 

ｃｏｔβ＝２　であるから　１＝（２ｃｏｔγ-１）／（２+ｃｏｔγ）　ｃｏｔγ+２＝２ｃｏｔγ-１　

２ｃｏｔγ-３＝ｃｏｔγ　（２ｃｏｔγ- ｃｏｔγ）-３＝ｃｏｔγ- ３　ｃｏｔγ＝３

　ｃｏｔγ＝ｘ／２　ｃｏｔγ＝３ｘ／２　　　直角三角形ＬＫＦにおいて　　ＬＫ＾2＝ＫＦ＾2+ＬＦ＾2

１／４（ｘ＾2+２ｋｘ）＝（ｋ-ｘ/２）＾２+（８ｋ/３-３ｘ/２-１ｋ/２）

（ｘ＾2+２ｋｘ）/４＝｛（２ｋ-ｘ）＾２｝/４+｛（１３ｋ-９ｘ＾２｝/３６

９ｘ＾２+１８ｋｘ＝３６ｋ＾２-３６ｋｘ+９ｘ＾２+１６９ｋ＾２-２３４ｋｘ+８１ｘ＾２

８１ｘ＾２-２８８ｋｘ+２０５ｋ＾２＝０　　　ｘ＝（１４４±√１４４＾２-８１×２０５）ｋ/８１＝

（１４４-√２０７３６-１６６０５）ｋ/８１＝（１４４-√４１３１）ｋ/８１