一般に音の高さは振動数によって決まり，振動数が大きいほど高い音になることはご存知ですね．しかし，たとえばある楽器で「ラ」の音を出したとき，その音にはこの「基音」(440ヘルツ)の他に「2倍音」(880ヘルツ)，「3倍音」(1320ヘルツ)，・・・が少しずつ含まれており，これらがそれぞれどのような振幅(大きさ)で含まれているかによって，その楽器の「音色」が決まります．
バイオリンなどの弦楽器の音色を表す波形は，おおよそ赤色表示されたグラフのような周期 2π の周期関数で，0≦x≦2π においては1次関数 (π-x)/2 で表されます．“ノコギリ波”と呼ばれています．
この波形を，機械が簡単に作れる単振動(サインカーブ)：
sin x (基音) , sin 2x (2倍音) , sin 3x (3倍音) , ・・・
を組み合わせて表現しようというのが(一昔前の)シンセサイザーです．
ここでは「sin 4x」までを用いて，0≦x≦2π (1周期分)において1次関数 (π-x)/2 を“最良近似”することを考えましょう．
そこで，“機械音”：a sin x+b sin 2x+c sin 3x+d sin 4x と“楽器音”：(π-x)/2 の平方誤差：
{a sin x+b sin 2x+c sin 3x+d sin 4x)-(π-x)/2}2
を 0≦x≦2π において集めた定積分：
E:=∫02π {(a sin x+b sin 2x+c sin 3x+d sin 4x)-(π-x)/2}2 dx (E：Error つまり誤差)
が最小となるように，各音の振幅 a,b,c,d を決めます．
定積分 E が「a,b,c,d の関数」であることを頭におきつつ x で積分計算すると，E は a,b,c,d それぞれの2次関数の和として表され
a=1 , b=1/2 , c=1/3 , d=1/4 (一般に sin kx の振幅が 1/k)
のときに E は最小となることが確かめられます．
それでは，“機械音”(青色のグラフ．初期設定では a=1,b=c=d=0)を見ながら，b を 1/2(=0.5) に, c を 1/3(≒0.33) に, d を 1/4(=0.25) に変えていってください．青色の“機械音”が赤色の“楽器音”に近づいていく様子がわかりますね．
ここでは4倍音までしか使わないのでまだかなり誤差が残っていますが，倍音の個数を限りなく増やしていくと，E→0 となります．つまり，“機械音”は“楽器音”に限りなく近づきます．
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