平らな地面を，中心A半径1のタイヤが「滑ることなく」転がるとき，タイヤの外周上に固定された点Pが描く曲線を「サイクロイド」といいます．接点が(θ,0)のときのPの座標は
x=θ-sin θ,y=1-cos θ
です．θを動かしてタイヤを転がしてみましょう．
注意して見て欲しいのは，Pが地面に触れるとき，一瞬「速さ」(速度ベクトルの大きさ)がゼロになることです．
次にいったん軌跡を消去し，a=APを0.8に変えましょう．タイヤが転がるとき，タイヤの外周より内側に固定された点Pが描くこの曲線を「トロコイド」といいます．接点が(θ,0)のときのPの座標は
x=θ-a sin θ,y=1-a cos θ
となります．
今度はa=AQ=1.2にします．このときのPは，電車の車輪のうちレールに触れる部分より外側に固定された点とイメージするとよいでしょう．この軌跡もやはりトロコイドと呼ばれ，a>1の場合は“ループ”ができます．また，Pはレールの上面(地面)より下に“めり込んだ”とき，電車の進行方向とは逆向きに進みます．少し不思議ですね．
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