y軸上の定点 A(0,a) から曲線 y=cos x (-π/2＜x＜π/2) 上の動点 P(θ,cos θ) へ到る距離APがいつ最小になるかを考えてみましょう．そのために，緑色表示された円Cを利用します．
高速道路を走っていると，よく「R=180」などという標識を目にします．これは，「その地点の道路はおおよそ半径180mの円と同じ位の“カーブのきつさ”なので，それに合わせてスピードコントロールしてね」というサインです．この円のことを，道路(曲線)のその地点における「曲率円」といいます．(曲率円の厳密な定義などはとりあえずおいといて，ここでは雰囲気だけ感じ取ってね．)
じつは前記円Cは，曲線 y=cos x の点 B(0,1) における曲率円です．曲線 y=cos x (-π/2＜x＜π/2) は，Bから離れるほどカーブが緩やかに(つまり曲率円の半径が大きく)なりますから，P(θ,cos θ) は P=B のときを除いてすべてCの外部にあります．・・・①
初期設定 (a=0.3) のように 0＜a＜1 のとき，Aを中心としてBを通る赤色の円は点Bを除いてCの内部にありますから，①と合わせて
AP≧AB (等号はP=Bのとき成立)
となりますね(θ を動かしてみてください)．よってAPは P=B のとき最小になります．
次に，a を負の値，たとえば -0.6 にしてみて下さい．今度は曲率円Cが点Bを除いて赤色の円の内部にあります．そして，曲線 y=cos x はBの近くでCとほとんど同じようなカーブを描きますから，点 P(θ,cos θ) の中には赤色の円の内部にあるものも存在します．したがって，APは P=B 以外のときに最小になります．(a=-0.6 の場合，θ が π/4 より少し大きいくらいのときでしょうか)
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