ここでは a，p は正の定数とします．
定点 F(ap,0) と 定直線 l x=a/p に到る距離の比が p:1 (初期設定では p=0.5)であるような点 P，つまり
FP=p PH ・・・①
を満たす点 P の軌跡 C を見てみましょう．θ の値を変えて点 P を動かしてみてください．
C は 0＜p＜1 のとき「楕円」であり，その方程式は
x^2/a^2+y^2/{a^2-c^2}=1 (ここに c=ap＜a)・・・②
となります．点 F(c,0) をこの楕円の「焦点」，直線 l を「準線」，p を「離心率」といいます．(離心率はふつう“e”で表しますが，function view では「e」は自然対数の底として扱われてしまうので)
①からわかるように，焦点 F から楕円 C 上の任意の点 P に到る距離は，なんと！xPの「1次関数」です．
また，②を見ればわかるように，C は y 軸に関して対称ですから，定点 F'(-ap,0) と 定直線 l' x=-a/p に到る距離の比が p:1 である点 P の軌跡も C と一致します．(F'，l' は，C のもう一組の焦点，準線です．)
非表示になっていたピンク色の5つを表示してみてください．
FP=p PH ， F'P=p PH'
を辺々加えると
FP+F'P=p(PH+PH')=p・2a/p=2a (一定)
となり，2焦点 F，F' から P にいたる距離の和が，つねに楕円 C の長軸の長さ 2a に等しいことが導かれます．
次に，離心率 p を 1.2 に変えてみてください．p＞1 のとき，C は双曲線で，その方程式は②とまったく同じで
x^2/a^2-y^2/{c^2-a^2}=1 (ここに c=ap>a)
です．また
|FP-F'P|=2a (主軸の長さ)
が成り立ちます．
↓「ダウンロード」を“右”クリック．「対象をファイルに保存」だかなんだかを左クリックしてファイルをパソコンの任意のフォルダに保存し，予めインストールしておいた function view で開いてください．