初期設定で表示されているのは
円 x2+y2=3 ・・・① と
直線 y=2x+1 ・・・②
です．
①，②を，それぞれ「右辺=0」の形
x2+y2-3=0 ・・・①’
2x-y+1=0 ・・・②’
にしたときの左辺を用いて，方程式
（x2+y2-3）＋k (2x-y+1)＝0 (k は定数) ・・・(＊)
を作り，これが表す曲線について考察していきます．
それでは，非表示になっていた①と②の2つの交点P，Q，および曲線（＊）(z3と表示)を，この順に表示させてみてください．（初期設定では，k=1 になっています．）
曲線（＊）は，2交点P，Qを通っています．試しに k の値を変えてみてください・・・・・・どうやら（＊）は，k の値によらず，つねにP，Qを通るようですね．その理由を説明します．
交点Pの座標は，実際に求めてみると (〔-2+√{14}〕/5 , 〔1+2√{14}〕/5)とヤヤコシイのですが，この具体的数値は気にせず，とにかくPの座標を方程式（＊）の左辺へ代入するとどうなるか考えましょう．
まず，Pは円①’上の点ですから，①’の左辺：x2+y2-3 の部分の値はゼロです．また，Pは直線②’上の点でもありますから，②’の左辺：2x-y+1 の部分の値もゼロです．よって，（＊）の左辺全体の値は
0+k・0=0
となり，k がどんな値であっても方程式（＊）は成り立ちます．つまり，曲線（＊）はいつも必ず点Pを通るのです．（もちろん交点Qについてもまったく同様）
このことを利用すれば，たとえば次のような問題が手早く解けます．（非表示になっている点Aを表示してください．）
「円①と直線②の2つの交点P，Qと定点A (0,3) を通る円Cの方程式を求めよ．」
１°前述の通り，（＊）は k の値によらずP，Qを通る．
２°（＊）は，(式の形からして)k の値によらず円を表す．
３°（＊）が点A (0,3) を通る条件は，（＊）に(x,y)=(0,3)を代入して
6+k・(-2)=0 i.e. k=3．
以上より，求める円Cの方程式は，k=3 のときの（＊）で，
（x2+y2-3）＋3 (2x-y+1)＝0
i.e. x2+y2＋6x-3y＝0．・・・（答）
これで，円①と直線②の交点を通る“第３の曲線”の方程式が，P，Qの座標（数値がキタナイ！）を求めずして得られた訳です．
次に，逆な見方でこんな問題を考えてみましょう．
「円 x2+y2＋2kx-ky+k-3＝0 が，k の値によらずつねに通る定点の座標を求めよ．」
（↑じつは(＊)と同値な式）
ここまでの話を知っている人なら，前記の交点P，Qが求める点であることはもうお分かりかと思いますが，ここではそうした予備知識なしでマジメに考えます．
求める定点の座標を (X,Y) とおきます．題意の円がこの点を通る条件は，x,y にそれぞれ X,Y を代入して
X2+Y2＋2kX-kY+k-3＝0． ・・・③
X,Yが満たすべき条件は，
③が任意の k について成り立つこと・・・(★)
です．
２箇所の下線部をご覧頂くとわかるように，いま③においては，
X,Yは定数．k が変数
です．そこで，③を変数 k について整理すると
(2X-Y+1)・k+(X2+Y2-3）＝0．・・・③’
(★)は，③’が任意の k について成り立つ，つまり③’が k に関する恒等式となること．すなわち
2X-Y+1=0 かつ X2+Y2-3=0．
これを解いて，求める定点の座標は
(X,Y)=(〔-2±√{14}〕/5 , 〔1±2√{14}〕/5) (複合同順)．・・・（答）
注目すべき点は，円の方程式③においては
x,y が変数．k は定数
だったのに，③’では文字の役割がまるで逆になっているということです．
この“視点の切り替え”は難しいですよねえ．function view 数学Ⅱの「直線の通過領域」においても，これと同じことが行われます．
↓「ダウンロード」を“右”クリック．「対象をファイルに保存」だかなんだかを左クリックしてファイルをパソコンの任意のフォルダに保存し，予めインストールしておいた function view で開いてください．