星型正120胞体の構成

作成手順は David A. Richter 氏のホームページに載っています。
正確にはThe first stellation of 120 cellというようです。

Zometoolは緑と黒のBallもそのとおりに用いて作りました。

構成Zometool: 385Balls,120R1,300R2,180R3,200Y2,400Y3,180B2,360B3

作成メモ

1. まず正120胞体の標準的なZome模型を作ります。
   作成方法は例えば George W. Hart, "Zome Geometry", 2001, Key Curriculum Press, p180 にあります。
   この模型を参考にしながら，上記 David A. Richter 氏 の作成インストラクションに沿って作りました。
   
   
2. 正120胞体は120個の正12面体から構成されますが，上記3次元射影模型では 45個が対になる形で重なり，75個の12面体に縮小されます。
   正12面体として残るのは中心の1個だけです。
   しかも，75個のうち最も外側に現れる30個はまったく平らな 6辺形の外形をしたものとなってしまいます。
   
   
3. 構成は簡単です。
   正120胞体のそれぞれの12面体に対して， それらを芯とする星形小12面体を作っていくだけです。
   とはいえ，参考にする正120胞体の内部に星形化を付加していくのは困難で， 実際には， David A. Richter 氏のインストラクションどおりに 初めから中心部から出発して星形化をしながら，外層部へと組み立てていきました。
   
   
4. ここで3色のBallが用いられました。
   原則的に次のような使い分けを行っています。
   
   
   1. 白＝もともとの正120胞体の構成に用いられるBalls
      
   2. 緑＝星型小12面体の頂点に対応するBalls
      
   3. 黒＝それ以外の辺の交差点であり，頂点に対応しないもの。
   
   
5. 興味深いことに， 完成した星型正120胞体を観察すると， いくつかの3次元の多面体がその中に現れていることがわかりました。
   他にも見逃している図形が隠れているかもわからないのですが， わかったものを列挙します。
   
   
   1. 菱形30面体(1)：辺＝R3
   2. 5つの立方体の複合体：立方体の1辺＝B3B2B3
   3. 星型小30面体：辺＝Y3Y2Y3
   4. 正20面体：辺＝Y3Y2Y3
   5. 菱形30面体(2)：辺＝R2R1R2
   6. 「5つの立方体の複合体」の各立方体に外接する 5つの菱形12面体の複合体 ：辺＝Y3Y2Y3
   7. 12の正5角形と12の星形正五角形による星形準正多面体[5/2,5,5/2,5] ：辺＝B3B2B3