4.2 星形大十二面体 The great stellated dodecahedron [5/2,3]


星形正多面体＝ケプラー・ポアンソの多面体の製作第2回目は，星形大十二面体です。

立体図形の模型作りはこれまでに，

1．プラトンの立体＝正多面体 5種類
2．アルキメデスの立体＝準正多面体 13種類
3．カタランの立体＝アルキメデス立体の双対 13種類

に続いて，前回から

4．ケプラー・ポアンソの多面体

を作り始めました。
前回はその第1回として，星形小十二面体を作りました。
今回は，星形大十二面体です。
4種類あるうちの，第2作目です。

名称について，以前にご指摘を受けたのですが，ここでの｢星形…面体｣の名称は，一松信先生の著作
一松信，｢正多面体を解く｣(東海大学出版会）
に倣ったものです。
ウィキペディアでは，｢小星型十二面体｣，｢大星型十二面体｣などのように，｢大｣，｢小｣を頭につけ，さらに｢星形｣ではなく｢星型｣という用語になっています。
つまり，専門家の間でも統一がされていないということなのでしょう。
ということで，用語はお許しのほどお願いいたします。

今回の，星形大十二面体では，
星形正五角形＝五芒星（ごぼうせい）＝Pentagramが，一つの頂点の周りに3個ずつ集まっています。
通常の正十二面体は正五角形が一つの頂点の周りに3個集まっているので[5，3]という記号であらわされますが，
星形大十二面体は記号[5/2，3]という記号になります。

まずは画像を見てください。



頂点の数は20個です。
6色モデルです。
12個の面のうち，向かい合った平行な星形正五角形の面を同じ色にして，全部で6色です。

次の画像は，3つの対称軸方向からみた画像です。



展開図をアップしておきます。---> <星形大十二面体の展開図ダウンロード>

模型において外に現れているのは，星形正五角形の角（つの）の部分のみです。
展開図として描かれているのはその角（つの）の部分の二等辺三角形です。
すべて同じ形と大きさの二等辺三角形で，辺の比が黄金比 1 ： 1.62 になっています。
黄金三角形と呼ばれているものです。
星型小十二面体と同じ三角形です。

写真だけでは，図形の形状がわかりにくいので，
分かりやすいように，全体の見取り図をパソコン画面上で動かせるようにしました。
ぜひ動かしてみてください。

下の図にリンクしてありますので，クリックしてみてください。
まず新しいウィンドウでプラグインのインストールについてのセキュリティの確認をしていただくと，
Cabri3Dというソフトのプラグインがインストールされます。
インストールに同意して，インストールが終了しますと，見取り図が表示されます。
その見取り図の上にカーソルを置いて，マウスの右ボタンを押して動かすと，マウスのポインターが回転用の矢印に変わります。

すると，図が回転して立体の形がよくわかります。

まずは，星形大十二面体の芯の部分にある正十二面体を眺めてください。
芯が赤く見えるように，一部分三角形を透明にしてあります。

<星形大十二面体 (芯の正十二面体の星形化) を動かす>

次は，正二十面体から星形化をする方法の外観図です。
正二十面体に含まれる3つの正五角形の面を延長して三角ピラミッドを作ると，一つの角が出来上がります。
言葉でうまく表現できないので，次の図を見てください。

<正二十面体から星形化 動かす>

次は，枠の正十二面体から星形大十二面体ができる様子を表した絵です。
この構成方法は，｢面取り｣と呼ばれるものです。
(実は，「星形化」と「面取り」という用語は，ときに逆に用いられたりするので，ちょっと混乱するときがあります。）

<正十二面体の構成「面取り」 動かす>




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