フェルミの黄金律、分布の導出。

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フェルミ・ディラック統計の導出。
摂動理論と有効ハミルトニアン。
フェルミの黄金律の導出。
グリーン ( 相関 ) 関数。

フェルミ・ディラック統計の導出。

[ ボーズ・アインシュタイン分布。 ]

(Eq.1)

温度 T における平均のエネルギーはそれにボルツマン因子 ( β = 1/kT ) をかけて得られる。
Eq.1 では、エネルギー (= ε ) は連続した値としている。
実際の現象ではエネルギーは ドブロイ波の整数倍の条件のため量子化される。
エネルギー ε を 離散的にして、

(Eq.2)

Eq.2 を Eq.1 に代入して、次を得る。

(Eq.3)

これを "ボーズ・アインシュタイン分布" という。

[ フェルミ・ディラック統計。 ]

(Fig.1) パウリの排他原理の原因は "力" ? → "つまらんことは質問するな。"

何かしらの物性物理学の教科書を見れば分かるが、一見してそれらの本の中には 非現実的な "スピン" の語句で溢れかえっているのが分かる。
しかし彼らはこのスピンとは何かを決して問おうとはしない。

"パウリの排他原理" は 絶対的な力を持ち、つまり２つの同じ状態のフェルミ粒子は同じ場所にどんな状況でも入れない。
( しかしこの”同じ場所”という定義が非常に曖昧である。物理的に境界線をはっきり定めることもできないのに。)

(Eq.4)

フェルミ・ディラック統計はパウリの排他原理に従う粒子の分布を表すものである。
つまりこれらの粒子数は n は "0" か "1" になる。
Eq.1- Eq.3 のように、Eq.4 では フェルミ・ディラック分布を得た。

このパウリの排他原理は絶大な力を持つにも関わらずその実態やら境界線やらの定義は不明であり彼らは抽象的な数式や記号のみを示すだけである。

摂動理論と有効ハミルトニアン。

[ ２次の有効ハミルトニアン。 ]

(Eq.5)

Eq.5 では、 H₀ と ε は自由粒子におけるハミルトニアンとそのエネルギーである。
"V" は 相互作用ハミルトニアンである。
この V は通常複雑であるため、Eq.5 のような 近似的なハミルトニアン H を用いる。

(Eq.6)

この H (= ハミルトニアン全体 ) の固有値は "E" で固有関数は Eq.6 に示すように "Ψ" である。

(Eq.7)

Eq.7 に示したように Ψ と E を λ に関して展開した。
Ψ⁽⁰⁾ と E⁽⁰⁾ は自由粒子の φ や ε と同じである。
Eq.5 と Eq.7 を Eq.6 に代入して、

(Eq.8)

Eq.8 の左は λ がない (= ゼロ次 ) 項である。
Eq.8 右では λ の1次の項のみピックアップした。

(Eq.9)

Eq.9 に示すように Ψ を Eq.5 の固有関数 φ で構成されているとした。
またこの φ は 規格直交系であるとする。

(Eq.10)

Eq.8 右の式で Eq.9 を用いて、左側から φ_m を掛けると Eq.10 を得る。
( Eq.5 も用いる。 )
"m" が "n" に等しくないとき、Eq.10 の最後の項はゼロになる。

(Eq.11)

Eq.11 を Eq.9 に代入して、

(Eq.12)

ここで Ψ⁽¹⁾ の "c_n" をゼロとする。
Eq.12 は一次の摂動である。

(Eq.13)

同じように Eq.6 と Eq.7 で２次の λ までを含む項をピックアップする。

(Eq.14)

両辺の最初の項は同じであるため打ち消し合う。
Eq.12 を Eq.14 に代入して、

(Eq.15)

結果的に次を得る。

(Eq.16)

E の１次の摂動 (= 上記の式の右辺の２項目 ) は Eq.10 に φ_m の代わりに φ_n を掛けて得られる。

物性物理学の多体系ではしばしば近似的なエネルギーを用いる。
そのため Eq.16 は重要である。
( この公式は単なる数学の域を超えずまた発散の問題を引き起こす。 )

フェルミの黄金律の導出。

フェルミの黄金律は時間に依存するハミルトニアンや摂動をベースにした遷移確率である。

(Eq.17)

Eq.17 は自由粒子における時間に依存しないハミルトニアンとエネルギーである。
ハミルトニアンが時間に依存する相互作用部分 (= H'(t) ) を含むとき、シュレデインガー方程式は

(Eq.18)

Eq.18 は次に等しい。

(Eq.19)

Eq.19 の左側から固有状態 "m" を掛けると、

(Eq.20)

ここで次を定義する。

(Eq.21)

Eq.21 を Eq.20 に代入して、それに左側から e^iEt/h を掛けて、

(Eq.22)

Eq.22 を t' で積分し、それに e^-iEt/h を掛けて、Eq.21 の関係式を用いると、

(Eq.23)

Eq.23 では、右辺で a_n(t') を近似的に A_n(0) に変える。
また次の関係式を使う。

(Eq.24)

初期状態 ( t= 0 ) を単純な形 (= δ_mn ) に定義して Eq.23 の右辺で２項目 (= 相互作用 ) の部分のみをピックアップすると、

(Eq.25)

Eq.25 にその複素共役を掛けると次を得る。

(Eq.26)

ここで次の関係式を使うと、
(Eq.27)

Eq.26 は、
(Eq.28)

デルタ関数とその公式は
(Eq.29)

E_mn を次のように定義する。
(Eq.30)

次のような数学上のトリックを使う。
(Eq.31)

Eq.28 - Eq.31 から次を得る。
(Eq.32)

Eq.32 の最初の行で、デルタ関数の公式を用いて、デルタ関数内部で E_mn の "ħ" 部分を消去できる。
Eq.32 を時間 "t" で割り、遷移確率 (= フェルミの黄金律 ) を得る。

問題はこの種の遷移確率は デルタ関数のためしばしば発散するということである。
つまり私達はこれら単なる"数学上"の世界を逃れて様々な物理現象をより "リアル"な物で表すように早急にすべきである。
( 同じことが数学上のブラックホールにおける 非現実的な"特異点" などについても言える。)

シュレディンガー方程式のグリーン ( 相関 ) 関数。

[ "数学上の" 生成 (消滅) 演算子が "リアル"な物理現象の解明を阻害している。 ]

(Fig.2) 単なる抽象的な演算子ではバライティーに富む実際の現象を説明できない。

現在の物性物理学、標準模型、ひも理論などの量子論では様々な物理現象を記述するのに非常に抽象的な演算子なるものに完全に頼っている。

このページに見られるように、これらの生成消滅演算子では実世界の様々なダイナミックに変化する現象を記述するにはどう転んでも限界がある。
なぜならこれらの生成 (消滅) 演算子ではただ漠然と空間上に粒子が生成 (消滅) したことのみを示せるだけで、具体的な変化に富む 時間、場所、位置関係を指定できないからである。

つまり、これらの非常に抽象的な演算子 (+ スピン ) こそが現在の科学の発展を妨げる 最大の要因である。

(Fig.3) 現実の変化に富む世界は単純な数学上の模型とは違いすぎる。

実世界の様々な物理現象、しいては非常に複雑な私達人間の高度な生体システムを見て分かるとおり、電子や陽子などの粒子は実際には複雑かつダイナミックに 動き回っている。
そしてそれらの粒子が相互作用するタイミングやその時の微妙な位置関係の違いなどがバライティーに富む様々な生体機能を決定していると言える。

残念ながら "a^†" や "a" などの単なる抽象的な数学の記号のみではこれらの複雑かつ変化に富む機能を説明することは 不可能である。

(Eq.33)